Question

已知：函數(shù)f(x)=2

3

sin2x+

cos3x

cosx

（1）求函數(shù)f（x）的最大值及此時(shí)x的值；
（2）在△ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C所對的邊，且對f（x）定義域中的任意的x都有f（x）≤f（A），若a=2，求

AB

•

AC

的最大值．

Answer 1

分析：（1）利用兩角和與二倍角公式化簡函數(shù)f(x)=2

3

sin2x+

cos3x

cosx

為：f(x)=4sin(2x+

π

6

)-1然后求函數(shù)f（x）的最大值及此時(shí)x的值．
（2）在△ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C所對的邊，且對f（x）定義域中的任意的x都有f（x）≤f（A），推出f（A）是f（x）的最大值及A∈（0，π），求出A，通過余弦定理，和基本不等式確定bc的范圍，然后求出

AB

•

AC

的表達(dá)式，即可求出它的最大值．

解答：解：（1）f(x)=2

3

sin2x+

cos2xcosx-sin2xsinx

cosx

=2

3

sin2x+cos2x-2sin2x（2分）=2

3

sin2x+2cos2x-1=4sin(2x+

π

6

)-1（3分）
所以當(dāng)2x+

π

6

=2kπ+

π

2

，k∈Z時(shí)，f（x）取最大值3，
此時(shí)x=kπ+

π

6

，k∈Z（5分）

（2）由f（A）是f（x）的最大值及A∈（0，π）得到，A=

π

6

（6分）
將a=2，A=

π

6

代入b²+c²-a²=2bccosA可得b2+c2-4=

3

bc，
又∵b²+c²≥2bc，∴

3

bc≥2bc-4，∴bc≤

4

2- 3

=4(2+

3

)（8分）
∴

AB

•

AC

=bccosA=

3

2

bc≤6+4

3

當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)

AB

•

AC

最大，最大值為6+4

3

（10分）

點(diǎn)評：本題考查三角函數(shù)的最值，平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，基本不等式的應(yīng)用，二倍角和兩角和的正弦函數(shù)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵，（2）是有難度的小綜合題目，挖掘f（A）是f（x）的最大值，比較重要，靈活應(yīng)用不等式求最值．