Question

（考生注意：請在下列三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題評閱記分）
A．（極坐標與參數方程選講選做題）設曲線C的參數方程為

x=2+3cosθ y=-1+3sinθ

（θ為參數），直線l的方程為x-3y+2=0，則曲線C上的動點P（x，y）到直線l距離的最大值為

3+

7 10

10

．
B．（不等式選講選做題）若存在實數x滿足不等式|x-3|+|x-5|＜m²-m，則實數m的取值范圍為

（-∞，-1）∪（2，+∞）

．
C．（幾何證明選講選做題）如圖，PC切⊙O于點C，割線PAB經過圓心O，弦CD⊥AB于點E．已知⊙O的半徑為3，PA=2，則PC=

4

．OE=

5

9

．

Answer 1

分析：A：把曲線C的參數方程化為普通方程，求出圓心到直線的距離，再把此距離加上半徑，即得所求．
B：由絕對值得意義可得|x-3|+|x-5|的最小值2，再由題意可得m²-m＞2，由此求得實數m的取值范圍．
C：由圓的切割線定理求出PC的值，用等面積法求出CE，用勾股定理求得OE的值．

解答：解：A：把曲線C的參數方程化為普通方程為 （x-2）²+（y+1）²=9，表示以C（2，-1）為圓心，半徑等于3的圓．
圓心到直線 x-3y+2=0 的距離為

|2+3+2|

10

=

7 10

10

，則曲線C上的動點P（x，y）到直線l距離的最大值為 3+ 

7 10

10

，
故答案為 3+ 

7 10

10

．
B：由于|x-3|+|x-5|表示數軸上的x對應點到3和5對應點的距離之和，它的最小值等于2，
而存在實數x滿足不等式|x-3|+|x-5|＜m²-m，故m²-m應大于|x-3|+|x-5|的最小值2，
即m²-m＞2，解得 m＜-1，或m＞2，
故答案為（-∞，-1）∪（2，+∞）．
C：由圓的切割線定理可得PC²=PA•PB=2（2+6）=16，∴PC=4．
由圓的切線性質可得，△POC為直角三角形，設它的面積為S，則S=

1

2

×OC×PC=

1

2

×CE×PO，
即

1

2

×3×4=

1

2

×CE×(2+3)，解得CE=

12

5

．
再由勾股定理可得OE=

OC2-CE 2

=

9-( 12 5 ) 2

=

9

5

，
故答案為 4；

9

5

．

點評：本題主要考查把參數方程化為普通方程的方法，點到直線的距離公式的應用．絕對值不等式的解法，圓的切割線定理以及圓的切線性質應用，等面積法，屬于中檔題．