Question

一個(gè)公差不為0的等差數(shù)列{a_n}，首項(xiàng)為1，其第1、4、16項(xiàng)分別為正項(xiàng)等比數(shù)列{b_n}，的第1、3、5項(xiàng)．
（1）求數(shù)列{a_n}，與{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）記數(shù)列{a_n}，與{b_n}的前n項(xiàng)和分別為S_n與T_n，試求正整數(shù)m，使得S_m=T₁₂；
（3）求證：數(shù)列{b_n}中任意三項(xiàng)都不能構(gòu)成等差數(shù)列．

Answer 1

解：（1）設(shè)數(shù)列{a_n}的公差為d，∴a₄=a₁+3d，a₁₆=a₁+15d
又b₁=a₁，b₃=a₄，b₅=a₁₆∴b₃²=b₁b₅
∴（a₁+3d）²=a₁（a₁+15d），∴9a₁d=9d²．∵d≠0，a₁=d．
∴d=1，a_n=n．
又{b_n}的公比為q，∴q²===4，而b_n＞0，∴q＞0，∴q=2，
∴b=2^n-1．
（2）∵S_m=，T_n=2⁰+2¹+2²+…+2^n-1=2ⁿ-1
由S_m=T₁₂，∴=2¹²-1，∴m²+m-8190=0．
∴m=90，m=-91（舍），∴m=90．
（3）反證法：假設(shè){b_n}中存在三項(xiàng)b_i，b_j，b_k（i＜j＜k）組成等差數(shù)列，∴2b_j=b_i+b_k
∴2×2^j-1=2^i-1+2^k-1，（※）∵i＜j＜k，∴j-i∈N^*，k-i∈N^*
∴2^j-i+1=2^k-i+1．∵2^j-i+1是偶數(shù)，2^k-i+1是奇數(shù)，∴等式（※）不成立．∴反設(shè)不真．
∴{b_n}中不存在三項(xiàng)構(gòu)成等差數(shù)列．
分析：（1）因?yàn)閿?shù)列{a_n}為等差數(shù)列，所以只需求出首項(xiàng)和公差，就可得到通項(xiàng)公式．同樣，因?yàn)閿?shù)列{b_n}為等比數(shù)列，所以只需求出首項(xiàng)和公比，就可得到通項(xiàng)公式．把a(bǔ)₁，a₄，a₁₆，都用a1，d表示，b₁，b₃，b₅都用b₁，q表示，因?yàn)閧a_n}，首項(xiàng)為1，其第1、4、16項(xiàng)分別為正項(xiàng)等比數(shù)列{b_n}，的第1、3、5項(xiàng)，可找到含a₁，d，b₁，q的幾個(gè)等式，解出a₁，d，b₁，q即可
（2）由（2）中所求的a₁，d，b₁，q的值，可求出數(shù)列{a_n}，與{b_n}的前n項(xiàng)和S_n與T_n，再令S_m=T₁₂，解出m即可．
（3）用反證法證明，先假設(shè){b_n}中存在三項(xiàng)b_i，b_j，b_k（i＜j＜k）組成等差數(shù)列，根據(jù)假設(shè)求i，j，k的關(guān)系，得出不成立的結(jié)論，則假設(shè)不成立，命題的證．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了等差等比數(shù)列通項(xiàng)公式，前n項(xiàng)和的求法，以及反證法證明不等式，做題時(shí)要細(xì)心．