已知二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c，g(x)＝λax＋b(λ≥1)，當|x|≤1時，|f(x)|≤1．

(1)證明：|a|≤2．

(2)用f(0)，f(1)，f(－1)表示g(1)，g(－1)．

(3)當|x|≤1時，證明|g(x)|≤2λ．

答案：
解析：

 　　解：(1)因為f(0)＝c，f(1)＝a＋b＋c，f(－1)＝a－b＋c

　　解：(1)因為f(0)＝c，f(1)＝a＋b＋c，f(－1)＝a－b＋c．

　　所以2a＝f(1)＋f(－1)－2f(0)．因為|x|≤1時，|f(x)|≤1，所以|f(1)|≤1，|f(－1)|≤1，|f(0)|≤1．所以|2a|＝|f(1)＋f(－1)－2f(0)|≤|f(1)|＋|f(－1)|＋2|f(0)|≤1＋1＋2＝4，即|a|≤2．

　　(2)g(1)＝λa＋b＝a＋b＋c＋(λ－1)a－c＝f(1)＋f(－1)－λf(0)．

　　g(－1)＝－λa＋b＝－(a－b＋c)＋(1－λ)a＋c＝f(1)－f(－1)＋λf(0)．

　　(3)因為λ≥1，|f(1)|≤1，|f(－1)|≤1，|f(0)|≤1，

　　所以|g(1)|＝|f(1)＋f(－1)－λf(0)|≤＋＋λ＝2λ．

　　|g(－1)|＝f(1)－f(－1)＋λf(0)|≤＋＋λ＝2λ．

　　又g(x)是關于x的一次函數(shù)，根據(jù)一次函數(shù)的單調(diào)性知，對一切|x|≤1，有|g(x)|≤2λ．


練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源：成功之路·突破重點線·數(shù)學（學生用書） 題型：044

已知二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx(a，b為是常數(shù)且a≠0)滿足條件：f(2)＝0且方程f(x)＝x有等根．

(1)求f(x)的解析式；

(2)問是否存在實數(shù)m，n(m＜n)，使f(x)的定義域和值域分別為[m，n]和[2m，2n]，如存在，求出m，n的值；如不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源：成功之路·突破重點線·數(shù)學（學生用書） 題型：044

已知二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)的圖象與x軸有兩個不同點的公共點，若f(c)＝0，且0＜x＜c時，f(x)＞0．

(Ⅰ)試比較與c的大小；

(Ⅱ)證明：－2＜b＜－1；

(Ⅲ)當c＞1，t＞0時，求證：＋＋＞0．

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科目：高中數(shù)學 來源：中學教材標準學案　數(shù)學　高二上冊 題型：044

解答題

已知二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b∈R，a＞0)，設方程f(x)＝x的兩個實根為x1和x2．

(1)如果x1＜2＜x2＜4，設函數(shù)f(x)的對稱軸為x＝x0，求證：x0＞－1；

(2)如果|x1|＜2，|x2－x1|＝2，求b的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源：安徽省示范高中銅陵三中2006－2007學年度高三數(shù)學理科第一次診斷性考試卷 新課標 人教版 人教版新課標 題型：044

解答題

已知二次函數(shù)f(x)的二次項系數(shù)為a，且不等式f(x)＞－2x的解集為(1，3)．

(1)

若方程f(x)＋6a＝0有兩個相等的實數(shù)根，求f(x)的解析式；

(2)

若f(x)的最大值為正數(shù)，求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源：龍門中學、新豐一中、連平中學三校聯(lián)考試題、高三數(shù)學(理) 題型：044

解答題

已知二次函數(shù),

(1)

若且,證明：的圖像與x軸有兩個相異交點；

(2)

證明：若對x1,x2,且x12,,則方程必有一實根在區(qū)間(x1,x2)內(nèi)；

(3)

在(1)的條件下,是否存在,使成立時,為正數(shù)

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