已知函數(shù).

（1）試判斷函數(shù)的單調(diào)性；

（2）設，求在上的最大值；

（3）試證明：對任意，不等式都成立（其中是自然對數(shù)的底數(shù)）．

 

（1）函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；

（2）在上的最大值為；

（3）證明過程詳見試題解析.

【解析】

試題分析：（1）先對函數(shù)求導，令導函數(shù)為0，即可求得函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減． （2）結合函數(shù)的單調(diào)性，分時，時，三種情況進行討論，即可求在上的最大值；(3) 把證明過程轉化為恒成立問題即可.

試題解析：（1）【解析】
（1）函數(shù)的定義域是．由已知．令，得．

因為當時，；當時，．

所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．

（2）由（1）可知當，即時，在上單調(diào)遞增，所以．

當時，在上單調(diào)遞減，所以．當，即時，．綜上所述，

（3）由（1）知當時．所以在時恒有，即，當且僅當時等號成立．因此對任意恒有．因為，，所以，即．因此對任意，不等式．

考點：導函數(shù)的應用、最值問題、恒成立問題.

 

練習冊系列答案
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命題且滿足.命題且滿足.則是的（ ）

A. 充分非必要條件 B. 必要非充分條件

C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件

 

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(A) (B) (C) (D)

 

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(A)45 (B)50

(C)55 (D)60

 

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（1）證明：；

（2）若，求二面角余弦值．

 

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已知函數(shù)的定義域為.

（1）求函數(shù)在上的最小值；

（2）對，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

 

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