Question

（2012•武昌區(qū)模擬）如果一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)度是連續(xù)的三個(gè)自然數(shù)，且最大角是最小角的兩倍，該三角形的周長(zhǎng)是

15

．

Answer 1

分析：設(shè)三角形三邊是連續(xù)的三個(gè)自然n-1，n，n+1，三個(gè)角分別為α，π-3α，2α，由正弦定理求得cosα=

n+1

2(n-1)

，再由余弦定理可得 （n-1）²=（n+1）²+n²-2（n+1）×n×

n+1

2(n-1)

，求得n=5，從而得出結(jié)論．

解答：解：設(shè)三角形三邊是連續(xù)的三個(gè)自然n-1，n，n+1，三個(gè)角分別為α，π-3α，2α，由正弦定理可得，

n-1

sinα

=

n+1

sin2α

∴cosα=

n+1

2(n-1)

，
再由余弦定理可得 （n-1）²=（n+1）²+n²-2（n+1）n•cosα，即 （n-1）²=（n+1）²+n²-2（n+1）n•

n+1

2(n-1)

，
化簡(jiǎn)可得n²-5n=0，
∴n=5，n=0（舍去）
此時(shí)，三角形的三邊分別為：4，5，6，周長(zhǎng)為15，
故答案為：15．

點(diǎn)評(píng)：本題考查正弦定理、余弦定理的應(yīng)用，求得n²-5n=0，是解題的難點(diǎn)，屬于中檔題．