Question

已知圓C和y軸相切，圓心在直線x-3y=0上，且被直線y=x截得的弦長為2

7

，求圓C的方程．

Answer 1

分析：由圓心在直線x-3y=0上，設(shè)出圓心坐標(biāo)，再根據(jù)圓與y軸相切，得到圓心到y(tǒng)軸的距離即圓心橫坐標(biāo)的絕對(duì)值等于圓的半徑，表示出半徑r，然后過圓心作出弦的垂線，根據(jù)垂徑定理得到垂足為弦的中點(diǎn)，利用點(diǎn)到直線的距離公式求出圓心到直線y=x的距離d，由弦長的一半，圓的半徑r及表示出的d利用勾股定理列出關(guān)于t的方程，求出方程的解得到t的值，從而得到圓心坐標(biāo)和半徑，根據(jù)圓心和半徑寫出圓的方程即可．

解答：解：設(shè)圓心為（3t，t），半徑為r=|3t|，
則圓心到直線y=x的距離d=

|3t-t|

2

=|

2

t|，（4分）
而(

7

)2=r2-d2，9t2-2t2=7，t=±1，（8分）
∴（x-3）²+（y-1）²=9或（x+3）²+（y+1）²=9（12分）

點(diǎn)評(píng)：此題綜合考查了垂徑定理，勾股定理及點(diǎn)到直線的距離公式．根據(jù)題意設(shè)出圓心坐標(biāo)，找出圓的半徑是解本題的關(guān)鍵．