Question

14．已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的圖象一個最高點為P（$\frac{π}{4}$，2），相鄰最低點為Q（$\frac{3π}{4}$，-2），當x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]時，求f（x）的值域．

Answer 1

分析 由函數(shù)的圖象的頂點坐標求出A，由周期求出ω，由最低點的坐標求出φ的值，可得函數(shù)的解析式，再利用正弦函數(shù)的定義域和值域，求得f（x）的值域．

解答 解：由題意可得A=2，$\frac{1}{2}$•$\frac{2π}{ω}$=$\frac{3π}{4}$-$\frac{π}{4}$，∴ω=2．
再根據(jù)最高點的坐標可得2•$\frac{π}{4}$+φ=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，即 φ=2kπ，再結合|φ|＜$\frac{π}{2}$，可得φ=0，
∴f（x）=2sin2x．
當x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]時，2x∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]，sin2x∈[-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]，∴f（x）∈[-$\sqrt{3}$，2]．

點評 本題主要考查由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，由函數(shù)的圖象的頂點坐標求出A，由周期求出ω，由最低點的坐標求出φ的值，正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于基礎題．