Question

10．已知函數(shù)f（x）=x³+ax²+x+2．
（Ⅰ）若a=-1，令函數(shù)g（x）=2x-f（x），求函數(shù)g（x）的極大值和極小值；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在（-$\frac{1}{3}$，+∞）上恒為單調(diào)遞增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求出函數(shù)g（x）=x-x³+x²-2，的導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)求出原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而求出其極大值、極小值；
（Ⅱ）先求出其導(dǎo)函數(shù)，把函數(shù)f（x）在（-$\frac{1}{3}$，+∞）上恒為單調(diào)遞增函數(shù)，轉(zhuǎn)化為其導(dǎo)函數(shù)的最小值恒大于等于0，利用二次函數(shù)在固定區(qū)間上求最值的方法求出導(dǎo)函數(shù)的最小值，再與0比即可求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)a=-1，f（x）=x³-x²+x+2，g（x）=x-x³+x²-2，求導(dǎo)，g′（x）=-3x²+2x+1，
令g′（x）=0，解得：x=-$\frac{1}{3}$，x=1，

x	（-∞，-$\frac{1}{3}$）	-$\frac{1}{3}$	（-$\frac{1}{3}$，1）	1	（1，+∞）
g′（x）	-	0	+	0	-
g（x）	↘	-$\frac{59}{27}$	↗	-1	↘

∴當(dāng)x=1時(shí)，取極大值，極大值為：g（1）=-1，當(dāng)x=-$\frac{1}{3}$時(shí)，取極小值，極小值為g（-$\frac{1}{3}$）=-$\frac{59}{27}$；
（Ⅱ）f′（x）=3x²+2ax+1的對(duì)稱軸為x=-$\frac{a}{3}$
①若-$\frac{a}{3}$≥-$\frac{1}{3}$，即a≤1時(shí)，要使f（x）在（-$\frac{1}{3}$，+∞）上單調(diào)遞增，則有
△=4a²-12≤0，則-$\sqrt{3}$$≤a≤\sqrt{3}$
∴-$\sqrt{3}$≤a≤1
②若-$\frac{a}{3}＜-\frac{1}{3}$，即a＞1時(shí)，由題知f（-$\frac{1}{3}$）≥0，則a≤2
∴1＜a≤2，
綜上可知：a的取值范圍，（-$\sqrt{3}$，2）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用導(dǎo)函數(shù)來(lái)研究函數(shù)的極值．在利用導(dǎo)函數(shù)來(lái)研究函數(shù)的極值時(shí)，分三步①求導(dǎo)函數(shù)，②求導(dǎo)函數(shù)為0的根，③判斷根左右兩側(cè)的符號(hào)，若左正右負(fù)，原函數(shù)取極大值；若左負(fù)右正，原函數(shù)取極小值，屬于中檔題．