Question

已知函數(shù)f(x)=loga(-x2+4x-3)(a＞0，且a≠1）的定義域?yàn)镸．
（Ⅰ）求定義域M，并寫出f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）當(dāng)x∈M時(shí)，求函數(shù)g（x）=2^x+3-4^x的值域．

Answer 1

分析：（I）由函數(shù)f(x)=loga(-x2+4x-3)(a＞0，且a≠1），知-x²+4x-3＞0，由此能求出函數(shù)的定義域和f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．
（II）由g（x）=2^x+3-4^x=8×2^x-（2^x）²，令t=2^x，則2＜t＜8，由此能求出函數(shù)g（x）=2^x+3-4^x的值域．

解答：解：（ I）∵函數(shù)f(x)=loga(-x2+4x-3)(a＞0，且a≠1），
∴-x²+4x-3＞0，解得1＜x＜3，
∴定義域M={x|1＜x＜3}．（4分）
①當(dāng)0＜a＜1時(shí)，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為：（2，3），（6分）
②當(dāng)a＞1時(shí)，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為：（1，2）．（8分）；
（ II）∵g（x）=2^x+3-4^x=8×2^x-（2^x）²，
令t=2^x，則2＜t＜8，
∴g（x）=-t²+8t，
由二次函數(shù)性質(zhì)可知：
當(dāng)2＜t＜8時(shí)，g（x）的值域是（0，16]．（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域和增區(qū)間的求法，考查指數(shù)函數(shù)的值域的求法．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意換元法的合理運(yùn)用．