Question

已知f（t）=-sin²t+sint+a．
（Ⅰ）若方程f（t）=0有解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）當(dāng)t∈R時(shí)，1≤f（t）≤

17

4

，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的零點(diǎn),二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）由題意可得sin²t-sint=a 有解，根據(jù)-1≤sint≤1，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得a的范圍．
（Ⅱ）根據(jù)f（t）=-(sint-

1

2

)2+a+

1

4

，-1≤sint≤1，求得 a-2≤f（t）≤a+

1

4

．再根據(jù)1≤f（t）≤

17

4

，可得 

a+ 1 4 ≤ 17 4 a-2≥1

，由此求得實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（t）=-sin²t+sint+a=0有解，即sin²t-sint=a 有解，
令g（t）=sin²t-sint=(sint-

1

2

)2-

1

4

，∵-1≤sint≤1，
∴a∈[-

1

4

，2]．
（Ⅱ）∵當(dāng)t∈R時(shí)，1≤f（t）≤

17

4

，f（t）=-(sint-

1

2

)2+a+

1

4

，-1≤sint≤1，
∴a-2≤f（t）≤a+

1

4

，∴

a+ 1 4 ≤ 17 4 a-2≥1

，求得 3≤a≤4，
故要求的實(shí)數(shù)a的取值范圍為[3，4]．

點(diǎn)評：本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．