已知圓O：x2+y2=1（點O為坐標原點），一條直線l：y=kx+b（b＞0）與圓O相切，并與橢圓
x2
2
+y2=1交于不同的兩點A、B．
（1）設b=f（x），求f（k）的表達式；
（2）若
OA
•
OB
=
2
3
，求直線l的方程．
（1）y=kx+b（b＞0）與x2+y2=1相切，則
|b|
1+k2
=1，
即b2=k2+1，∵b＞0，∴b=
k2+1
.
由
y=kx+b
x2
2
+y2=1
消去y，
得（2k2+1）x2+4kbx+2b2-2=0．
∵l與橢圓交于不同的兩點，
∴△=16k2b2-4（2k2+1）（2b2-2）=8k2＞0，k≠0．
∴b=
k2+1
(k≠0)
（2）設A（x1，y1），B（x2，y2），
則x1+x2=-
4kb
2k2+1
，x1x2=
2b2-2
2k2+1

OA
•
OB
=x1x2+y1y2=+x1x2+(kx1+b)(kx2+b)=（1+k2）x1x2+kb（x1+x2）+b2=(1+k2)
2k2+1
2b2-2
+kx
2k2+1
-4kb
+b2=
k2+1
2k2+1
OA
•
OB
=
2
3
，
∴
k2+1
2k2+1
=
2
3
•k2=1.
所以b2=2，∵b＞0，∴b=
2
，
∴l：y=x+
2
或y=-x+
2
練習冊系列答案
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精英家教網(wǎng)已知圓O：x2+y2=2交x軸于A，B兩點，曲線C是以AB為長軸，離心率為
2
2
的橢圓，其左焦點為F．若P是圓O上一點，連接PF，過原點O作直線PF的垂線交橢圓C的左準線于點Q．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）若點P的坐標為（1，1），求證：直線PQ與圓O相切；
（3）試探究：當點P在圓O上運動時（不與A、B重合），直線PQ與圓O是否保持相切的位置關系？若是，請證明；若不是，請說明理由．

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x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)有一個公共點A（0，1），F(xiàn)為橢圓的左焦點，直線AF被圓所截得的弦長為1．
（1）求橢圓方程．
（2）圓o與x軸的兩個交點為C、D，B（ x0，y0）是橢圓上異于點A的一個動點，在線段CD上是否存在點T（t，0），使|BT|=|AT|，若存在，請說明理由．

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已知圓O：x2+y2=9，定點 A（6，0），直線l：3x-4y-25=0
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（2）設E、F分別是圓O和直線l上任意一點，求線段EF的最小值．

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（2012•廣州一模）已知圓O：x2+y2=r2，點P（a，b）（ab≠0）是圓O內(nèi)一點，過點P的圓O的最短弦所在的直線為l1，直線l2的方程為ax+by+r2=0，那么（　�。�

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已知圓O：x2+y2=1，點P在直線x=
3
上，O為坐標原點，若圓O上存在點Q，使∠OPQ=30°，則點P的縱坐標y0的取值范圍是（　�。�

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