Question

某公司生產(chǎn)某種產(chǎn)品的固定成本為2萬(wàn)元，每生產(chǎn)一件產(chǎn)品增加投入150元，已知收益T（單位：元）滿足T（x）=

450x- 1 2 x2(0≤x≤400) 100000(x＞400))

，其中x是產(chǎn)品的月產(chǎn)量．
（Ⅰ）將利潤(rùn)W表示成月產(chǎn)量x的函數(shù)；
（Ⅱ）當(dāng)月產(chǎn)量為多大時(shí)，公司的月利潤(rùn)最大？（收益=成本+利潤(rùn)）

Answer 1

分析：（I）月利潤(rùn)W=月銷售收入T（x）-生產(chǎn)儀器增加投入-固定成本；因T（x）是分段函數(shù)，故分別計(jì)算0≤x≤400，x＞400 時(shí)，W的解析式；
（II）因?yàn)槔麧?rùn)函數(shù)W是分段函數(shù)，所以要分別在0≤x≤400，x＞400 時(shí)，計(jì)算W的最大值，通過比較得出W在其定義域上的最大值．

解答：解：（I）當(dāng)0≤x≤400 時(shí)，W=450x-

1

2

x²-20000-150x=-

1

2

x²+300x-20000；
當(dāng)x＞400 時(shí)，W=100000-20000-150x=-150x+80000；     
綜上所述：W=

- 1 2 x2+300x-20000，(0≤x≤400) -150x+80000     (x＞400)

．
（II）當(dāng)0≤x≤400時(shí)，f（x）=-

1

2

（x-300）²+25000，
∴當(dāng)x=300 時(shí)，f（x）_max=25000；                  
當(dāng)x＞400 時(shí)，f（x）=-150x+80000 是減函數(shù)，
∴f（x）＜-150×400+80000=20000；
 綜上所述，當(dāng)x=300 時(shí)，W_max=25000．
所以，當(dāng)月產(chǎn)量為250臺(tái)時(shí)，公司獲得的月利潤(rùn)最大．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了分段函數(shù)模型的應(yīng)用，當(dāng)分段函數(shù)求最值時(shí)，要分別在每一區(qū)間上求出最值，通過比較得出整個(gè)定義域上的最值．