Question

設(shè)S_n是等比數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，S₃，S₉，S₆成等差數(shù)列，且a₂+a₅=2a_m，則m=

8

．

Answer 1

分析：由S₃，S₉，S₆成等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的性質(zhì)列出關(guān)系式，利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式化簡(jiǎn)，得到關(guān)于q的關(guān)系式，再利用等比數(shù)列的性質(zhì)化簡(jiǎn)a₂+a₅=2a_m的左右兩邊，將得到的關(guān)于q的關(guān)系式整理后代入，即可得出m的值．

解答：解：∵S_n是等比數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，且S₃，S₉，S₆成等差數(shù)列，
∴2S₉=S₃+S₆，即

2a1(1-q9)

1-q

=

a1(1-q3)

1-q

+

a1(1-q6)

1-q

，
整理得：2（1-q⁹）=1-q³+1-q⁶，即1+q³=2q⁶，
又a₂+a₅=a₁q+a₁q⁴=a₁q（1+q³）=2a₁q⁷，2a_m=2a₁q^m-1，且a₂+a₅=2a_m，
∴2a₁q⁷=2a₁q^m-1，即m-1=7，
則m=8．
故答案為：8

點(diǎn)評(píng)：此題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及求和公式，熟練掌握性質(zhì)及公式是解本題的關(guān)鍵．