已知數(shù)列{xn}的前n項(xiàng)和為Sn滿足數(shù)學(xué)公式,數(shù)學(xué)公式
(I)猜想數(shù)列{x2n}的單調(diào)性,并證明你的結(jié)論;
(Ⅱ)對(duì)于數(shù)列{un}若存在常數(shù)M>0,對(duì)任意的n∈N+,恒有|un+1-un|+|un-un-1|+-+|u2-u1|≤M則稱數(shù)列{Un}為B-數(shù)列.問數(shù)列{xn}是B-數(shù)列嗎?并證明你的結(jié)論.

解:(I)由已知得,∴,猜想數(shù)列{x2n}是遞減數(shù)列(3分)
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明:
(1)當(dāng)n=1時(shí),已證命題成立(2)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)命題成立,即x2k>x2k+2
易知x2k>0,那么即x2(k+1)>x2(k+1)+2
也就是說,當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立,結(jié)合(1)和(2)知,命題成立(6分)
(Ⅱ)數(shù)列{xn}是B-數(shù)列.(7分)
當(dāng)n=1時(shí),|xn+1-xn|=|x2-x1|=,(8分)
當(dāng)n≥2時(shí),易知0<xn-1<1,∴(9分)
(10分)
∴|xn+1-xn|=||=|xn-xn-1|xn-xn-1|≤-≤(12分)
∴|xn+1-xn|+|xn-xn-1|+-+|x2-x1|≤
所以數(shù)列{xn}是B-數(shù)列.(13分)
分析:(I)由已知得,∴,猜想數(shù)列{x2n}是遞減數(shù)列,再用數(shù)學(xué)歸納法證明;
(Ⅱ)利用定義尋找使得不等式成立的M的值,從而先去證明|xn+1-xn|≤,從而可判斷.
點(diǎn)評(píng):本題(1)中的證明要用到數(shù)學(xué)歸納法,數(shù)學(xué)歸納法常常用來證明一個(gè)與自然數(shù)集N相關(guān)的性質(zhì),其步驟為:設(shè)P(n)是關(guān)于自然數(shù)n的命題,若1)(奠基) P(n)在n=1時(shí)成立;2)(歸納) 在P(k)(k為任意自然數(shù))成立的假設(shè)下可以推出P(k+1)成立,則P(n)對(duì)一切自然數(shù)n都成立.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知數(shù)列{xn}的前n項(xiàng)和為Sn,若點(diǎn)Pn(xn,Sn)(n=1,2,…)都在斜率為k的同一條直線上(常數(shù)k≠0,1)
(1)求證:{xn}是等比數(shù)列;
(2)設(shè)數(shù)列{xn}的公比為f(k),bn=-f(bn-1),b1=-1,Cn=bnbn+1,求C1+C2+…+Cn

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(2011•廣東模擬)已知數(shù)列{xn}的前n項(xiàng)和為Sn滿足Sn+1=Sn+
1
1+xn
,S1=
1
2n
    n∈N+

(I)猜想數(shù)列{x2n}的單調(diào)性,并證明你的結(jié)論;
(Ⅱ)對(duì)于數(shù)列{un}若存在常數(shù)M>0,對(duì)任意的n∈N+,恒有|un+1-un|+|un-un-1|+-+|u2-u1|≤M則稱數(shù)列{Un}為B-數(shù)列.問數(shù)列{xn}是B-數(shù)列嗎?并證明你的結(jié)論.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知數(shù)列{xn}的前n項(xiàng)和為Sn,若點(diǎn)Pn(xn,Sn)(n=1,2,…)都在斜率為k的同一條直線上(常數(shù)k≠0,1)
(1)求證:{xn}是等比數(shù)列;
(2)設(shè)數(shù)列{xn}的公比為f(k),bn=-f(bn-1),b1=-1,Cn=bnbn+1,求C1+C2+…+Cn

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:0119 月考題 題型:解答題

已知數(shù)列{xn}的前n項(xiàng)和為Sn滿足,n∈N*。
(Ⅰ)猜想數(shù)列{x2n}的單調(diào)性,并證明你的結(jié)論;
(Ⅱ)對(duì)于數(shù)列{un}若存在常數(shù)M>0,對(duì)任意的n∈N*,恒有,則稱數(shù)列{un}為B-數(shù)列。問數(shù)列{xn}是B-數(shù)列嗎? 并證明你的結(jié)論。

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