如圖,一半徑為
3
的圓形靶內(nèi)有一個半徑為1的同心圓,將大圓分成兩部分,小圓內(nèi)部區(qū)域記為2環(huán),圓環(huán)區(qū)域記為1環(huán),某同學向該靶投擲3枚飛鏢,每次1枚.假設(shè)他每次必定會中靶,且投中靶內(nèi)各點是隨機的.
(Ⅰ)求該同學在一次投擲中獲得2環(huán)的概率;
(Ⅱ)設(shè)X表示該同學在3次投擲中獲得的環(huán)數(shù),求X的分布列及數(shù)學期望.
考點:離散型隨機變量的期望與方差,幾何概型
專題:計算題,概率與統(tǒng)計
分析:(1)題考查的知識點是幾何概型的意義,關(guān)鍵是要找出滿足條件A的區(qū)域面積和總面積之間的關(guān)系,再根據(jù)幾何概型計算公式給出答案;
(2)根據(jù)(1)中投中A區(qū)域的概率,不難列出x的分布列并進行數(shù)學期望.
解答: 解:(I)設(shè)該同學在一次投擲中投中2環(huán)的概率為P(A),
由題意可得是幾何概型,P(A)=
S內(nèi)
S
=
π×12
π×
3
2
=
1
3

∴該同學一次投擲投中2環(huán)的概率為
1
3

(II)由題意可知X可能的值為3,4,5,6,
P(X=3)=(1-
1
3
)3
P(X=4)
=C
1
3
(
1
3
)(1-
1
3
)2
=
4
9
,P(X=5)
=C
2
3
(
1
3
)2(1-
1
3
) =
2
9
,P(X=6)=
C
3
3
(
1
3
)3=
1
27

∴X的分布列為
X 3 4 5 6
P
8
27
4
9
2
9
1
27
E(X)=3×
8
27
+4×
4
9
+5×
2
9
+6×
1
27
=4
環(huán)
答:X的數(shù)學期望為4環(huán).
點評:求古典概型的概率的基本步驟為:(1)算出所有基本事件的個數(shù)n.(2)求出事件A包含的所有基本事件數(shù)m.(3)代入公式,求出P(A).幾何概型中的三種基本度量為長度、面積和體積,在解題時要準確把握,要把問題向它們作合理地轉(zhuǎn)化,要注意古典概型與幾何概型的區(qū)別(基本事件的有限性和無限性),正確選用幾何概型解題.
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