Question

（文）如圖正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，在它的12條棱及12條面的對(duì)角線(xiàn)所在的直線(xiàn)中，選取若干條直線(xiàn)確定平面，在所有的這些平面中：
（1）、過(guò)B₁C且與BD平行的平面有且只有一個(gè)；
（2）、過(guò)B₁C且與BD垂直的平面有且只有一個(gè)；
（3）、存在平面α，過(guò)B1C與直線(xiàn)BD所成的角等于30．
其中是真命題的個(gè)數(shù)是（　�。�

A．0個(gè)

B．1個(gè)

C．2個(gè)

D．3個(gè)

Answer 1

分析：（1）先由線(xiàn)面平行的判定定理可證明符合條件的平面有平面B₁D₁C，再說(shuō)明它的唯一性；（2）利用反證法，若存在過(guò)B₁C且與BD垂直的平面α，則BD與B₁C所成的角為90°，這與事實(shí)BD與B₁C所成的角為30°矛盾；（3）可以計(jì)算BD與平面A₁B₁CD所成的角就是30°：連接BC₁交B₁C于O，證明∠BDO就是直線(xiàn)BD與平面A₁B₁CD所成的角，進(jìn)而在直角三角形中計(jì)算即可

解答：解：（1）在24條直線(xiàn)中，與直線(xiàn)BD平行的直線(xiàn)只有B₁D₁，故過(guò)B₁C且與BD平行的平面有且只有一個(gè)即平面B₁D₁C，故（1）正確；
（2）因?yàn)橹本�(xiàn)BD與直線(xiàn)B₁C所成的角即為∠A₁DB，已知△A₁DB為等邊三角形，所以直線(xiàn)BD與直線(xiàn)B₁C所成的角為60°，
假設(shè)存在過(guò)B₁C且與BD垂直的平面α，則因?yàn)锽₁C?α，所以BD⊥B₁C，這與事實(shí)矛盾
故不可能存在過(guò)B₁C且與BD垂直的平面，（2）錯(cuò)誤
（3）連接BC₁交B₁C于O
∵BC₁⊥B₁C，CD⊥BC₁，B₁C∩CD=C
∴BC₁⊥平面A₁B₁CD，即BO⊥平面A₁B₁CD
∴∠BDO就是直線(xiàn)BD與平面A₁B₁CD所成的角
在直角三角形BDO中，BD=

2

a，BO=

2

2

a，
∴∠BDO=30°
∴直線(xiàn)BD與平面A₁B₁CD所成的角為30°
故存在平面α，即平面A₁B₁CD，過(guò)B₁C與直線(xiàn)BD所成的角等于30°，（3）正確
故真命題的個(gè)數(shù)為2
故選C

點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方體中的線(xiàn)面關(guān)系，線(xiàn)面平行、線(xiàn)面垂直的判定與性質(zhì)，線(xiàn)面角的計(jì)算，具有較強(qiáng)的空間想象能力和推理能力是解決本題的關(guān)鍵