Question

17．設(shè)奇函數(shù)f（x）（x∈R）的導(dǎo)函數(shù)是f′（x），f（2）=0，當(dāng)x＞0時(shí)，xf′（x）＞f（x），則使得f（x）＞0成立的x的取值范圍是（-2，0）∪（2，+∞）．

Answer 1

分析 構(gòu)造函數(shù)g（x）=$\frac{f（x）}{x}$，對g（x）求導(dǎo)并判斷函數(shù)g（x）的單調(diào)性與奇偶性，分x＞0與x＜0兩種情況求出不等式的解集，綜合即可得答案．

解答 解：根據(jù)題意，設(shè)函數(shù)g（x）=$\frac{f（x）}{x}$，
則其導(dǎo)數(shù)g′（x）=$\frac{x•f′（x）-f（x）}{{x}^{2}}$，
又由當(dāng)x＞0時(shí)，xf′（x）＞f（x），則有g(shù)′（x）=$\frac{x•f′（x）-f（x）}{{x}^{2}}$＞0，
即當(dāng)x＞0時(shí)，函數(shù)g（x）為增函數(shù)，
又由g（-x）=$\frac{f（-x）}{-x}$=$\frac{f（x）}{x}$=g（x），則函數(shù)g（x）為偶函數(shù)，
又由當(dāng)x＞0時(shí)，函數(shù)g（x）為增函數(shù)，則x＜0時(shí)，函數(shù)g（x）是減函數(shù)，
又由f（2）=0，g（2）=g（-2）=$\frac{f（2）}{2}$=0，
故x＞0時(shí)，由f（x）＞0，得：g（x）＞g（2），解得：x＞2，
x＜0時(shí)，由f（x）＞0，得：g（x）＜g（-2），解得：x＞-2，
∴f（x）＞0成立的x的取值范圍是：（-2，0）∪（2，+∞）．
故答案為：（-2，0）∪（2，+∞）．

點(diǎn)評 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)g（x），并分析函數(shù)g（x）的奇偶性、單調(diào)性．