Question

設(shè)函數(shù)f（x）=（log₂x+log₂4）（log₂x+log₂2）的定義域?yàn)?span id="eywiomt" class="MathJye">[

1

4

，4]，
（Ⅰ）若t=log₂x，求t的取值范圍；
（Ⅱ）求y=f（x）的最大值與最小值，并求出最值時(shí)對(duì)應(yīng)的x的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性確定函數(shù)t=log₂x的取值范圍；
（Ⅱ）利用換元法將函數(shù)y=f（x）轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的一元二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求函數(shù)的最值．

解答：解：（Ⅰ）因?yàn)楹瘮?shù)t=log₂x，單調(diào)遞增，當(dāng)x∈[

1

4

，4]時(shí)，log2

1

4

≤log2x≤log24，
即-2≤log₂x≤2，所以-2≤t≤2，即t的取值范圍[-2，2]．
（Ⅱ）設(shè)t=log₂x，則函數(shù)y=f（x）=（log₂x+2）（log₂x+1）=（t+2）（t+1），-2≤t≤2，
設(shè)y=g(t)=(t+2)(t+1)=(t+

3

2

)2-

1

4

，
所以當(dāng)t=-

3

2

時(shí)即t=log2x=-

3

2

，即x=2-

3

2

=

2

4

時(shí)，函數(shù)y有最小值-

1

4

，
當(dāng)t=2時(shí)，即t=log₂x=2，x=4時(shí)，函數(shù)y有最大值為12．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)以及二次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，利用換元法將函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)是解決本題的關(guān)鍵．