Question

已知函數(shù)f（x）=ax-1-2lnx．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求f（x）的最小值；
（2）若a≥2，求證：函數(shù)f（x）在（0，e）上無零點(diǎn)．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：計(jì)算題,證明題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）先求f（x）=x-1-2lnx的定義域，求導(dǎo)f′（x）=1-

2

x

=

x-2

x

，從而由導(dǎo)數(shù)確定最小值；
（2）求導(dǎo)f′（x）=a-

2

x

=

ax-2

x

，從而確定函數(shù)的單調(diào)性與最值，從而證明函數(shù)f（x）在（0，e）上無零點(diǎn)．

解答： 解：（1）由題意，f（x）=x-1-2lnx的定義域?yàn)椋?，+∞），
f′（x）=1-

2

x

=

x-2

x

，
故當(dāng)0＜x＜2時(shí)，f′（x）＜0，
當(dāng)x＞2時(shí)，f′（x）＞0，
故f_min（x）=2-1-2ln2=1-2ln2；
（2）證明：f′（x）=a-

2

x

=

ax-2

x

，
故當(dāng)0＜x＜

2

a

時(shí)，f′（x）＜0，
當(dāng)

2

a

＜x＜e時(shí)，f′（x）＞0，
則f（x）在（0，

2

a

）上是減函數(shù)，在（

2

a

，e）上是增函數(shù)；
又∵f（

2

a

）=a•

2

a

-1-2ln

2

a

=1-2ln

2

a

，
∵a≥2，∴0＜

2

a

≤1，
∴1-2ln

2

a

≥1；
∴f（x）≥1；
故函數(shù)f（x）在（0，e）上無零點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，同時(shí)考查了恒成立問題，屬于中檔題．