Question

如圖，在矩形ABCD中，AB=2，AD=1，E是CD邊上的中點，以AE為折痕將△DAE向上折起，使D為D′，且平面D′AE⊥平面ABCE.

（1）求證：AD′⊥EB；

（2）求直線AC與平面ABD′所成角的大小.

Answer 1

解法一：（1）證明:因為AD′=D′E=1,取AE的中點O，連結(jié)D′O，則D′O⊥AE，

∵平面D′AE⊥平面ABCE，且交線為AE，∴D′O⊥平面ABCE.                              ?

以O為原點，平行于BC的直線為x軸，平行于AB的直線為y軸，OD′所在直線為z軸，建立空間直角坐標系O—xyz，如圖所示，

?

則A（，-，0）,B（，，0），C（-，，0），E（-，，0），D′（0，0，），∴=（-，，），=（-1，-1，0）.                                              ?

∵·=（-）×（-1）+×（-1）+×0=0，

∴⊥，即AD′⊥BE.                                                                                   ?

（2）解:設平面ABD′的法向量為n=(x,y,z).?

則即                                                      ?

∴令z=1，則x=.?

∴平面ABD′的一個法向量是n=(,0,1).                                                               ?

∴cos〈,n〉===-.                                        ?

設直線AC與平面ABD′所成的角為θ，則sinθ=|cos〈,n〉|=.?

∴直線AC與平面ABD′所成的角為Arcsin.                                                     ?

解法二：（1）證明:在RT△BCE中，BE==，?

在RT△AD′E中，AE==，?

∵AB²=2²=BE²+AE²，∴AE⊥BE.                                                                                   ?

∵平面AED′⊥平面ABCE，且交線為AE，?

∴BE⊥平面AED′.                                                                                                  ?

∵AD′平面AED′，

∴AD′⊥BE.                                                                                                            ?

 (2)解:設AC與BE相交于點F，由（1）知AD′⊥BE，?

∵AD′⊥ED′,

∴AD′⊥平面EBD′.                                                                                                 ?

∵AD′平面AED′，?

∴平面ABD′⊥平面EBD′，且交線為BD′.?

作FG⊥BD′，垂足為G，則FG⊥平面ABD′，?

連結(jié)AG，則∠FAG是直線AC與平面ABD′所成的角.                                             ?

由平面幾何的知識可知==，?

∴EF=13EB=.?

在RT△AEF中，AF===，?

在RT△EBD′中，=，可求得FG=.                                                  ?

∴sin∠FAG===.

∴直線AC與平面ABD′所成的角為arcsin.