Question

已知定義在R上的函數(shù)y=f（x）滿足下列三個(gè)條件：
①對(duì)任意的x∈R都有f（x）=f（x+4）；
②對(duì)于任意的0≤x₁＜x₂≤2，都有f（x₁）＜f（x₂），
③y=f（x+2）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，
則下列結(jié)論中，正確的是（ ）
A．f（4.5）＜f（6.5）＜f（7）
B．f（4.5）＜f（7）＜f（6.5）
C．f（7）＜f（4.5）＜f（6.5）
D．f（7）＜f（6.5）＜f（4.5）

Answer 1

【答案】分析：求解本題需要先把函數(shù)的性質(zhì)研究清楚，由三個(gè)條件知函數(shù)周期為4，其對(duì)稱軸方程為x=2，在區(qū)間[0，2]上是增函數(shù)，觀察四個(gè)選項(xiàng)發(fā)現(xiàn)自變量都不在已知的單調(diào)區(qū)間內(nèi)故應(yīng)用相關(guān)的性質(zhì)將其值用區(qū)間[0，2]上的函數(shù)值表示出，以方便利用單調(diào)性比較大小．
解答：解：由①②③三個(gè)條件知函數(shù)的周期是4，在區(qū)間[0，2]上是增函數(shù)且其對(duì)稱軸為x=2
∴f（4.5）=f（0.5），
f（7）=f（3）=f（2+1）=f（2-1）=f（1），
f（6.5）f（2.5）=f（2+0.5）=f（2-0.5）=f（1.5）
∵0＜0.5＜1＜1.5＜2，函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[0，2]上是增函數(shù)
∴f（0.5）＜f（1）＜f（1.5），即f（4.5）＜f（7）＜f（6.5）
故選B．
點(diǎn)評(píng)：本題考點(diǎn)是函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，綜合考查了函數(shù)的周期性，函數(shù)的對(duì)稱性與函數(shù)的單調(diào)性，以及函數(shù)圖象的平移規(guī)律，涉及到了函數(shù)的三個(gè)主要性質(zhì)，本題中同期性與對(duì)稱性的作用是將不在同一個(gè)單調(diào)區(qū)間上的函數(shù)值的大小比較問題轉(zhuǎn)化成一個(gè)單調(diào)區(qū)間上來比較，函數(shù)圖象關(guān)于直線x=a對(duì)稱，有兩個(gè)等價(jià)方程一為f（a+x）=f（a-x），一為f（x）=f（2a-x），做題時(shí)應(yīng)根據(jù)題目條件靈活選擇對(duì)稱性的表達(dá)形式．