已知四棱錐的底面是平行四邊形,,,,
.若中點(diǎn),為線段上的點(diǎn),且
(1)求證:平面;
(2)求PC與平面PAD所成角的正弦值.

 
(1)詳見(jiàn)解析;(2)

試題分析:(1)連結(jié)BD交AC于O,取PF中點(diǎn)G,連結(jié)OF,BG,EG,利用EO,EG分別為BG,F(xiàn)C的中位線,得到它們對(duì)應(yīng)平行,進(jìn)而得到平面BEG與平面ACF平行,再由面面平行的性質(zhì)得到線面平行.
(2)要求線面角,需要先找到線面角的代表角,即過(guò)C點(diǎn)做面PAD的垂線,因?yàn)镻A垂直于底面,所以過(guò)C作線段AD的垂線與AD交于H,則CH垂直于面PAD,所以角CPH即為線面角的代表角,要求該角的正弦值,就需要求出PC與CH,可以利用△PAC和△ACH為直角三角形通過(guò)勾股定理求出,進(jìn)而得到線面角的正弦值.
解:(1)證明1:連接BD交AC于點(diǎn)O,取中點(diǎn),連接、

因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824045255999299.png" style="vertical-align:middle;" />、分別是的中點(diǎn), 所以,      
又         ,所以             2分
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824045255687312.png" style="vertical-align:middle;" />、分別是、的中點(diǎn),
所以,同理可得        4分
 所以,平面平面
又因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824045256467430.png" style="vertical-align:middle;" />平面,故平面.      6分
證明2:作AH垂直BC交BC于H
建立如圖的空間直角坐標(biāo)系O-XYZ,

令A(yù)D=PA=2,則AB=1
所以
中點(diǎn), 所以     2分
設(shè)面AFC的一個(gè)法向量,又
,
所以 
      4分
所以
所以  故平面.                              6分
(2)解1:因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824045256811541.png" style="vertical-align:middle;" />,,所以
過(guò)C作AD的垂線,垂足為H,則,所以平面PAD.
為PC與平面PAD所成的角.                  9分
設(shè),則,,,
所以,即為所求.                 12分
解2:作AH垂直BC交BC于H,建立如圖的空間直角坐標(biāo)系O-XYZ,

令A(yù)D=PA=2,則AB=1,所以          8分
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824045257060687.png" style="vertical-align:middle;" />,所以面PCD的一個(gè)法向量為       10分
令PC與平面PAD所成的角為,則
故PC與平面PAD所成角的正弦值為.    12分.
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D.

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