Question

如圖，在多面體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，上、下兩個底面ABCD和A₁B₁C₁D₁互相平行，且都是正方形，DD₁⊥底面ABCD，AB=2A₁B₁=2DD₁=2a．
（Ⅰ）求異面直線AB₁與DD₁所成的角的余弦值；
（Ⅱ）已知F是AD的中點，求證：FB₁⊥平面BCC₁B₁；
（Ⅲ）在（Ⅱ）條件下，求二面角F-CC₁-B的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：解法1（幾何法）：（I）過A點作AP，使AP∥DD₁，且AP=DD₁，連接A₁P，B₁P，可得∠B₁AP為異面直線AB₁與DD₁所成的角，解三角形B₁AP，即可得到異面直線AB₁與DD₁所成的角的余弦值；
（Ⅱ）由F為AD的中點，結合上、下兩個底面ABCD和A₁B₁C₁D₁互相平行，且都是正方形，DD₁⊥底面ABCD，AB=2A₁B₁=2DD₁=2a，我們易得BC⊥FB₁，F(xiàn)B₁⊥GB₁，由線面垂直的判定定理可得FB₁⊥平面BCC₁B₁；
（Ⅲ）由（II）的結論，我們可得∠FC₁B₁是二面角F-CC₁-B的平面角，解三角形FC₁B₁即可得到二面角F-CC₁-B的余弦值．
解法2（向量法）：（I）以D為坐標原點，DA，DC，DD₁所在直線分別為x，y，z軸建立直角坐標系，分別求出異面直線AB₁與DD₁的方向向量，代入向量夾角公式，即可得到異面直線AB₁與DD₁所成的角的余弦值；
（Ⅱ）分別求出向量，，的坐標，根據•=0，•=0，我們可得⊥，且⊥，再由線面垂直的判定定理得到FB₁⊥平面BCC₁B₁；
（Ⅲ）由（II）可得即為平面BCC₁B₁的一個法向量，求出平面FCC₁的一個法向量，代入向量夾角公式，即可得到二面角F-CC₁-B的余弦值．
解答：（本小題滿分12分）
解：法1：（Ⅰ）過A點作AP，使AP∥DD₁，且AP=DD₁，
連接A₁P，B₁P，如圖所示
則∠B₁AP為異面直線AB₁與DD₁所成的角．
∴．…（3分）
（Ⅱ）∵F為AD的中點，∴BC⊥平面FB₁A₁，
從而BC⊥FB₁．…（5分）
∵FB₁²+GB₁²=2a²+2a²=4a²=FG²，…（6分）
FB₁⊥GB₁
∴FB₁⊥平面BCC₁B₁．…（7分）
（Ⅲ）由B₁C₁⊥平面CDD₁C₁，得B₁C₁⊥CC₁．
又由（2）FB₁⊥平面BCC₁B₁，∴由三垂線定理得，F(xiàn)C₁⊥CC₁，
∴∠FC₁B₁是二面角F-CC₁-B的平面角．…（10分）
∵，∴．
即二面角F-CC₁-B的余弦值為．…（12分）
法2：以D為坐標原點，DA，DC，DD₁所在直線分別為x，y，z軸建立直角坐標系．…（2分）
（Ⅰ）∵，，
∴．…（3分）
（Ⅱ）∵，，．…（6分）
∴
∴FB₁⊥平面BCC₁B₁．…（7分）
（Ⅲ）由（2）知，為平面BCC₁B₁的一個法向量．
設為平面FCC₁的一個法向量，則，．
由令y₁=1，⇒x₁=2，z₁=1．
∴．…（10分）
∴，即二面角F-CC₁-B的余弦值為．…（12分）
點評：本題考查的知識點是與二面角有關的立體幾何綜合題，異面直線及其所成的角，直線與平面垂直的判定，其中解法1 （幾何法）的關鍵是求出線面夾角及二面角的平面角，解法2（向量法）的關鍵是建立空間坐標系，將空間線面夾角，二面角及線面垂直問題轉化為向量夾角問題．