Question

設函數(shù)，其中.

（I）解不等式；

（II）求的取值范圍，使函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù).

 

Answer 1

答案：
解析：

思路1：（I）不等式即 ， 由此得，即，其中常數(shù). 所以，原不等式等價于 即                                                                                 所以，當時，所給不等式的解集為； 當時，所給不等式的解集為.                                （II）在區(qū)間上任取，，使得<. .               （i）     當時， ∵， ∴ ， 又， ∴， 即. 所以，當時，函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞減函數(shù).                  （ii）當時，在區(qū)間上存在兩點，，滿足 ，，即，所以函數(shù)在區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù). 綜上，當且僅當時，函數(shù)為區(qū)間上的單調(diào)函數(shù).             思路2：                                                           (i)當時，有 ， 此時.函數(shù)在區(qū)間（—∞,+∞）上是單調(diào)遞減函數(shù). 但f(0)=1,因此，當且僅當x≥0時 f(x)≤1                                              (ii)當０＜a＜1時： 解不等式得，f(x)在區(qū)間上是單調(diào)遞減函數(shù)； 同理，解不等式得，f(x)在區(qū)間上是單調(diào)遞增函數(shù). 解方程f(x)=1得  . 因為， 所以，當且僅當. 綜上：(Ⅰ)當a≥1時，的解集為< /span>； 當０＜a＜1時 的解集為. (Ⅱ)當且僅當a≥1時，f(x)在區(qū)間[0,+∞]上是單調(diào)函數(shù).