Question

（2012•朝陽(yáng)區(qū)二模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)E到兩點(diǎn)F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0）的距離之和為2

2

，設(shè)點(diǎn)E的軌跡為曲線C．
（1）寫(xiě)出C的方程；
（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)F₂（1，0）的斜率為k（k≠0）的直線l與曲線C交于不同的兩點(diǎn)M，N，點(diǎn)P在y軸上，且|PM|=|PN|，求點(diǎn)P縱坐標(biāo)的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由橢圓的定義可知，點(diǎn)E的軌跡C是以?xún)啥�點(diǎn)F₁（-1，0）和F₂（1，0）為焦點(diǎn)，長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為2

2

的橢圓，由此可得曲線C的方程；
（2）先寫(xiě)出直線MN的方程為y=k（x-1），聯(lián)立直線與橢圓方程，設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），MN的中點(diǎn)E（x₀，y₀），根據(jù)方程的根與系數(shù)的關(guān)系可求x₁+x₂，y₁+y₂=k（x₁+x₂-2），然后由PM=PN且P在y軸上，設(shè)p （0，b），利用兩點(diǎn)間的距離公式可求b與k的關(guān)系，然后結(jié)合△＞0可求b的范圍

解答：解：（1）由橢圓的定義可知，點(diǎn)E的軌跡是以F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0）為焦點(diǎn)，以2

2

為長(zhǎng)軸的橢圓
∵c=1，a=

2

∴b=1
∴C的方程為

x2

2

+y2=1
（2）由題意可得，直線MN的方程為y=k（x-1）
聯(lián)立方程

y=k(x-1) x2 2 +y2=1

可得，（1+2k²）x²-4k²x+2（k²-1）=0
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），MN的中點(diǎn)E（x₀，y₀）
則x₁+x₂=

4k2

1+2k2

，y₁+y₂=k（x₁+x₂-2）=

-2k

1+2k2

且△=16k⁴-8（1+2k²）（k²-1）＞0
即1+k²＞0
∵PM=PN且P在y軸上，設(shè)p （0，b）
∴x12+(y1-b)2=x22+(y2-b)2
整理可得，（x₁-x₂）（x₁+x₂）=（y₂-y₁）（y₂+y₁-2b）
∴x₁+x₂=k（y₁+y₂-2b）
代人可得，

4k2

1+2k2

=k(

-2k

1+k2

-2b)
∴b=-

k

1+2k2

∴2bk²+k+b=0
∴△=1-8b²＞0
∴-

2

4

＜b＜

2

4

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．