已知定義在R上的分段函數(shù)f(x)是奇函數(shù),當x∈(0,+∞)時的解析式為y=x2,求這個函數(shù)在R上的解析式并畫出函數(shù)的圖象,寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

解:當x=0時,因為f(x)是R上的奇函數(shù),所以f(-0)=-f(0),即f(0)=0;
當x<0時,則-x>0,則f(-x)=(-x)2=x2
因為f(x)是奇函數(shù),所以f(x)=-f(-x)=-x2,
,
作出函數(shù)的圖象如圖所示:
由圖象知,函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間(-∞,+∞).
分析:利用奇函數(shù)的性質(zhì)易求f(0),當x<0時,先求f(-x),然后利用奇函數(shù)性質(zhì)可得f(x).
點評:本題考查函數(shù)奇偶性的簡單應(yīng)用、函數(shù)圖象的作法,屬基礎(chǔ)題.
練習冊系列答案
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已知定義在R上的奇函數(shù)f(x),對任意實數(shù)x,滿足f(x+2)=-f(x),且當0<x≤1時,f(x)=3x+1.
(Ⅰ)求f(0)、f(2)和f(-2)的值;
(Ⅱ)證明函數(shù)f(x)是以4為周期的周期函數(shù);
(Ⅲ)當-1≤x≤3時,求f(x)的解析式(結(jié)果寫成分段函數(shù)形式).

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(Ⅱ)證明函數(shù)f(x)是以4為周期的周期函數(shù);
(Ⅲ)當-1≤x≤3時,求f(x)的解析式(結(jié)果寫成分段函數(shù)形式).

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