(本小題滿分14分)
在數(shù)列
中,
,且前
項的算術(shù)平均數(shù)等于第
項的
倍(
). (即
(1)寫出此數(shù)列的前5項;
(2)歸納猜想
的通項公式,并加以證明.
(1)此條件
的本質(zhì)是
,然后令n=1,2,3,4,5,求出前5項即可。
(2)根據(jù)求得的前5項可以歸納出
,由于要證明的結(jié)論與n有關(guān),可以考慮采用數(shù)學(xué)歸納法進行證明:證明要分兩個步驟進行:(i)說明n=1時命題成立。(2)先假設(shè)n=k時,命題成立;再證明n=k+1時,命題也成立,在證明時要用上n=k時的歸納假設(shè)。
解:(1)由已知
,
,分別取
,
得
,
,
,
,所以數(shù)列的前5項是:
,
.__4分
(2)由(1)中的分析可以猜想
.______6分
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明:
①當(dāng)
時,公式顯然成立.②假設(shè)當(dāng)
時成立,即
,那么由已知,
得
,
即
,所以
,
即
,又由歸納假設(shè),得
,
所以
,即當(dāng)
時,公式也成立.
由①和②知,對一切
,都有
成立. ----------14分
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題
科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:單選題
一個只有有限項的等差數(shù)列,它的前5項和為34,最后5項的和為146,所有項的和為234,則它的第7項
等于()
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:填空題
設(shè)數(shù)列
的首項
,且滿足
,則數(shù)列
的前10項和為
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:單選題
等差數(shù)列
的前n項和
的最大值為( )
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
(本小題滿分12分)
已知公差不為零的等差數(shù)列
的前4項和為10,且
成等比數(shù)列.
(Ⅰ)求通項公式
;
(Ⅱ)設(shè)
,求數(shù)列
的前
項和
.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
(本小題滿分12分)
已知數(shù)列
的前三項與數(shù)列
的前三項對應(yīng)相同,且
對任意的
都成立,數(shù)列
是等差數(shù)列
(1) 求數(shù)列
與
的通項公式;
(2) 是否存在
使得
?請說明理由。
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
設(shè)等差數(shù)列
的前
項和為
,公比是正數(shù)的等比數(shù)列
的前
項和為
,已知
(1)求
的通項公式。
(2)若數(shù)列
滿足
求數(shù)列
的前
項和
。
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:單選題
已知數(shù)列
:
,
,
,
,…,那么數(shù)列
=
前n項和為( )
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:填空題
等差數(shù)列
中,
則此數(shù)列的前
項和 _________.
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