Question

20．已知橢圓Γ的中心在坐標原點，且經(jīng)過點$（1，\frac{3}{2}）$，它的一個焦點與拋物線E：y²=4x的焦點重合，斜率為k的直線l交拋物線E于A、B兩點，交橢圓Γ于C、D兩點．
（1）求橢圓Γ的方程；
（2）直線l經(jīng)過點F（1，0），設(shè)點P（-1，k），且△PAB的面積為$4\sqrt{3}$，求k的值；
（3）若直線l過點M（0，-1），設(shè)直線OC，OD的斜率分別為k₁，k₂，且$\frac{1}{k_1}，\frac{2}{k}，\frac{1}{k_2}$成等差數(shù)列，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）設(shè)橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），由橢圓Γ的中心在坐標原點，且經(jīng)過點$（1，\frac{3}{2}）$，它的一個焦點與拋物線E：y²=4x的焦點重合，列出方程組求出a，b，由此能求出橢圓Γ的方程．
（2）設(shè)直線l：y=k（x-1），由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，得k²x²-2（k²+2）x+k²=0，由此利用根的判別式、韋達定理、弦長公式、點到直線距離公式，結(jié)合已知條件能求出k的值．
（3）設(shè)直線l：y=kx-1，代入橢圓，得（4k²+3）x²-8kx-8=0，由此利用M（0，-1）在橢圓內(nèi)部，得l與橢圓恒有兩個交點，根據(jù)韋達定理、等差數(shù)列的性質(zhì)，結(jié)合已知條件能求出直線l的方程．

解答 解：（1）設(shè)橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），
由題設(shè)$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{9}{4^{2}}=1}\\{{a}^{2}=^{2}+1}\end{array}\right.$，
解得a²=4，b²=3，
∴橢圓Γ的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
（2）設(shè)直線l：y=k（x-1），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，得k²x²-2（k²+2）x+k²=0，
l與拋物線E有兩個交點，k≠0，
△=16（k²+1）＞0，
則|AB|=$\frac{\sqrt{4（{k}^{4}+4{k}^{2}+4）-4{k}^{4}}}{{k}^{2}}$•$\sqrt{1+{k}^{2}}$=$\frac{4（{k}^{2}+1）}{{k}^{2}}$，
P（-1，k）到l的距離d=$\frac{3|k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，
又${S}_{△PAB}=4\sqrt{3}$，
∴$\frac{1}{2}×\frac{4（{k}^{2}+1）}{{k}^{2}}$•$\frac{3|k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=4$\sqrt{3}$，即4k²=3k²+3，
解得k=$±\sqrt{3}$．
（3）設(shè)直線l：y=kx-1，由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx-1}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，得（4k²+3）x²-8kx-8=0，M（0，-1）在橢圓內(nèi)部，
∴l(xiāng)與橢圓恒有兩個交點，
設(shè)C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），則${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{8k}{4{k}^{2}+3}$，${x}_{1}{x}_{2}=-\frac{8}{4{k}^{2}+3}$，
由$\frac{1}{k_1}，\frac{2}{k}，\frac{1}{k_2}$成等差數(shù)列，
得$\frac{4}{k}$=$\frac{1}{{k}_{1}}+\frac{1}{{k}_{2}}$=$\frac{{x}_{1}}{{y}_{1}}+\frac{{x}_{2}}{{y}_{2}}$=$\frac{{x}_{1}{y}_{2}+{x}_{2}{y}_{1}}{{y}_{1}{y}_{2}}$=$\frac{{x}_{1}（k{x}_{2}-1）+{x}_{2}（k{x}_{1}-1）}{{y}_{1}{y}_{2}}$
=$\frac{2k{x}_{1}{x}_{2}-（{x}_{1}+{x}_{2}）}{{k}^{2}{x}_{1}{x}_{2}-k（{x}_{1}+{x}_{2}）+1}$=$\frac{-16k-8k}{-8{k}^{2}-8{k}^{2}+4{k}^{2}+3}$=$\frac{24k}{12{k}^{2}-3}$，
解得k=$±\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴直線l的方程為y=$±\frac{\sqrt{2}}{2}x-1$．

點評 本題考查橢圓方程、直線斜率、直線方程的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意根的判別式、韋達定理、弦長公式、點到直線距離公式，等差數(shù)列等知識點的合理運用．