Question

設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)邊的長(zhǎng)分別是a，b，c，且b=4，c=2，A=2B．
（1）求a的值；
（2）求sin(A+

π

3

)的值．

Answer 1

考點(diǎn)：余弦定理的應(yīng)用,正弦定理的應(yīng)用

專題：計(jì)算題,三角函數(shù)的求值,解三角形

分析：（1）因?yàn)锳=2B，所以sinA=sin2B=2sinBcosB，再由余弦定理，正弦定理，即可得到a，b，c的關(guān)系，代入數(shù)據(jù)，即可得到a；
（2）由余弦定理得到cosA，從而得到sinA，再由兩角和的正弦公式即可得到所求值．

解答： 解：（1）因?yàn)锳=2B，所以sinA=sin2B=2sinBcosB，
由余弦定理得cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

sinA

2sinB

，
所以由正弦定理可得a=2b•

a2+c2-b2

2ac

，
因?yàn)閎=4，c=2，所以a²=24，即a=2

6

；
（2）由余弦定理得cosA=

b2+c2-a2

2bc

=-

1

4

，
因?yàn)?＜A＜π，所以sinA=

1-cos2A

=

15

4

．
故sin(A+

π

3

)=sinAcos

π

3

+cosAsin

π

3

=

15

4

×

1

2

+（-

1

4

）×

3

2

=

15 - 3

8

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查正弦定理和余弦定理的運(yùn)用，考查三角函數(shù)的恒等變換公式的運(yùn)用，考查化簡(jiǎn)運(yùn)算能力，屬于中檔題．