Question

設(shè)函數(shù).
（1）若,試求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）過坐標(biāo)原點作曲線的切線，證明:切點的橫坐標(biāo)為1；
（3）令，若函數(shù)在區(qū)間（0，1］上是減函數(shù)，求的取值范圍.

Answer 1

（1）的減區(qū)間為,增區(qū)間
（2）導(dǎo)數(shù)的幾何意義的運(yùn)用，理解切線的斜率即為該點的導(dǎo)數(shù)值既可以得到求證。
（3）

試題分析：解: （1）時,          1 分
                   3分

的減區(qū)間為,增區(qū)間                 5分
（2）設(shè)切點為，
切線的斜率，又切線過原點
           7分
滿足方程，由圖像可知
有唯一解，切點的橫坐標(biāo)為1；              -8分
或者設(shè),
,且,方程有唯一解         -9分
（3），若函數(shù)在區(qū)間（0，1］上是減函數(shù)，
則，所以---（*） 10分


若，則在遞減，
即不等式恒成立                11分
若,
在上遞增,

,即,上遞增,
這與,矛盾               13分
綜上所述,                                    14分
解法二: ，若函數(shù)在區(qū)間（0，1］上是減函數(shù)，
則，所以 10分
顯然,不等式成立
當(dāng)時,恒成立            11分
設(shè)
設(shè)
在上遞增, 所以         12分
在上遞減,
所以             14分
點評：主要是考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運(yùn)用，屬于中檔題。