Question

已知拋物線x²=2py （p＞0），過點(diǎn)M （0，- ）向拋物線引兩條切線，A、B為切點(diǎn)，則線段AB的長(zhǎng)度是

1. A.
   2p
2. B.
   p
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

A
分析：設(shè)過M（0，-）與拋物線x²=2py （p＞0）相切的直線l的斜率為k，可求得l的方程為：y=kx-，與拋物線x²=2py （p＞0）聯(lián)立，整理成關(guān)于x的一元二次方程，由△=0可求得k，從而可求得切點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，由兩點(diǎn)間的距離公式可求得線段AB的長(zhǎng)度．
解答：由題意可知，過點(diǎn)M（0，-）與拋物線x²=2py （p＞0）相切的直線l的斜率存在，設(shè)為k，則l的方程為：y=kx-，與拋物線方程x²=2py （p＞0）聯(lián)立，
消掉y得：x²-2pkx+p²=0，
∵直線l與拋物線x²=2py （p＞0）相切，
∴△=4p²k²-4p²=0，解得k=±1；
當(dāng)k=1時(shí)，解得x=p，y=，
∴切點(diǎn)A的坐標(biāo)為（p，）；
同理可求，當(dāng)k=-1時(shí)，切點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-p，）；
∴|AB|=|p-（-p）|=2p．
故選A．
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓錐曲線的關(guān)系，將直線與圓錐曲線相切問題轉(zhuǎn)化為二曲線構(gòu)成的方程組有唯一解的問題，著重考查方程思想與轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．