Question

10．若函數(shù)f（x）=lg[（1-a²）x²+4（a-1）x+4]值域為R，求實數(shù)a滿足的條件．

Answer 1

分析 根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)建立不等式關(guān)系進行求解即可．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=lg[（1-a²）x²+4（a-1）x+4]的值域為R，
∴當1-a²=0時，得a=1或a=-1，
當a=1時，f（x）=lg4，函數(shù)的值域為{lg4}，不滿足條件．
當a=-1時，f（x）=lg（4-8x），此時函數(shù)的值域為R，滿足條件．
當a≠±1，
設(shè)y=（1-a²）x²+4（a-1）x+4，
要使函數(shù)f（x）的值域為R，
則滿足二次項系數(shù)1-a²＞0，即-1＜a＜1
根的判別式△=16（a-1）²-16（1-a²）≥0，
即2a（a-1）≥0，解得a≥1或a≤0，
∵-1＜a＜1
∴此時-1＜a≤0．
綜上-1≤a≤0．

點評 本題考查了函數(shù)的值域，還考查了分類討論的數(shù)學思想，根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合一元二次函數(shù)的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．