Question

已知圓O：x²+y²=2交x軸于A(yíng)，B兩點(diǎn)，曲線(xiàn)C是以AB為長(zhǎng)軸，離心率為的橢圓，其左焦點(diǎn)為F．若P是圓O上一點(diǎn)，連接PF，過(guò)原點(diǎn)O作直線(xiàn)PF的垂線(xiàn)交橢圓C的左準(zhǔn)線(xiàn)于點(diǎn)Q．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，1），求證：直線(xiàn)PQ與圓O相切；
（3）試探究：當(dāng)點(diǎn)P在圓O上運(yùn)動(dòng)時(shí)（不與A、B重合），直線(xiàn)PQ與圓O是否保持相切的位置關(guān)系？若是，請(qǐng)證明；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023213353210111480/SYS201310232133532101114017_DA/0.png">，所以c=1，由此能得到橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）因?yàn)镻（1，1），所以，所以k_OQ=-2，所以直線(xiàn)OQ的方程為y=-2x．再由橢圓的左準(zhǔn)線(xiàn)方程為x=-2，能夠證明直線(xiàn)PQ與圓O相切．
（3）當(dāng)點(diǎn)P在圓O上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線(xiàn)PQ與圓O保持相切．設(shè)P（x，y）（），則y²=2-x²，
所以，，所以直線(xiàn)OQ的方程為，由此知直線(xiàn)PQ始終與圓O相切．
解答：解：（1）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023213353210111480/SYS201310232133532101114017_DA/6.png">，所以c=1（2分）
則b=1，即橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（4分）
（2）因?yàn)镻（1，1），所以，
所以k_OQ=-2，所以直線(xiàn)OQ的方程為y=-2x（6分）
又橢圓的左準(zhǔn)線(xiàn)方程為x=-2，所以點(diǎn)Q（-2，4）（7分）
所以k_PQ=-1，又k_OP=1，所以k_OP⊥k_PQ=-1，即OP⊥PQ，
故直線(xiàn)PQ與圓O相切（9分）
（3）當(dāng)點(diǎn)P在圓O上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線(xiàn)PQ與圓O保持相切（10分）
證明：設(shè)P（x，y）（），則y²=2-x²，
所以，，
所以直線(xiàn)OQ的方程為（12分）
所以點(diǎn)Q（-2，）（13分）
所以，
又，
所以k_OP⊥k_PQ=-1，即OP⊥PQ，故直線(xiàn)PQ始終與圓O相切（15分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查圓錐曲線(xiàn)的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意公式的合理運(yùn)用．