Question

設(shè)f(x)=

-2x+a

2x+1+b

（a，b為實(shí)常數(shù)）．
（1）當(dāng)a=b=1時(shí)，證明：f（x）不是奇函數(shù)；
（2）設(shè)f（x）是奇函數(shù)，求a與b的值；
（3）求（2）中函數(shù)f（x）的值域．

Answer 1

（1）f(x)=

-2x+1

2x+1+1

，
f(1)=

-2+1

22+1

=-

1

5

，f(-1)=

- 1 2 +1

2

=

1

4

，
所以f（-1）≠-f（1），f（x）不是奇函數(shù)；（4分）
（2）f（x）是奇函數(shù)時(shí)，f（-x）=-f（x），
即

-2-x+a

2-x+1+b

=-

-2x+a

2x+1+b

對任意實(shí)數(shù)x成立，
化簡整理得（2a-b）•2^2x+（2ab-4）•2^x+（2a-b）=0，這是關(guān)于x的恒等式，
所以

2a-b=0 2ab-4=0

所以

a=-1 b=-2

或

a=1 b=2

；（8分）
（3）f(x)=

-2x+1

2x+1+2

=-

1

2

+

1

2x+1

，因?yàn)?^x＞0，所以2^x+1＞1，0＜

1

2x+1

＜1，
從而-

1

2

＜f(x)＜

1

2

；所以函數(shù)f（x）的值域?yàn)?span mathtag="math" >(-

1

2

，

1

2

)．（13分）