Question

已知函數(shù)的導數(shù)為，記函數(shù)f（x）=x-kg（x）（x≥2，k為常數(shù)）．
（1）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（2，+∞）上為減函數(shù)，求k的取值范圍；
（2）求函數(shù)f（x）的值域．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)函數(shù)f（x）在區(qū)間（2，+∞）上為減函數(shù)可得到f（x₁）-f（x₂）關(guān)于x₁，x₂的關(guān)系式，然后轉(zhuǎn)化為對x₁，x₂∈（2，+∞）恒成立的問題，即可得到k的取值．
（2）對函數(shù)f（x）進行求導，然后分兩種情況討論，當k≤0時易知函數(shù)f（x）是增函數(shù)，可直接求出值域；當k＞0時，又分三種情況k＞1、k=1、0＜k＜1根據(jù)導數(shù)的正負情況進行討論，從而可得到函數(shù)的單調(diào)性確定值域．
解答：解：（1）因為f（x）在區(qū)間（2，+∞）上為減函數(shù)，
所以對任意的x₁，x₂∈（2，+∞），且x₁＜x₂恒有f（x₁）-f（x₂）＞0成立．
即恒成立．
因為x₂-x₁＞0，所以對x₁，x₂∈（2，+∞），且x₁＜x₂時，恒成立．
又＜1，所以k≥1．
（2）．
下面分兩種情況討論：
（1）當k≤0時，是關(guān)于x的增函數(shù)，值域為
（2）當k＞0時，又分三種情況：
①當k＞1時，因為，所以，即f'（x）＜0．
所以f（x）是減函數(shù)，．
又，
當x→+∞，f（x）→-∞，所以f（x）值域為．
②當k=1時，，
且f（x）是減函數(shù)，故f（x）值域是．
③當0＜k＜1時，f'（x）是增函數(shù)，
，．
下面再分兩種情況：
（a）當時，f'（x）=0的唯一實根，
故f'（x）＞0（x≥2），是關(guān)于x的增函數(shù)，值域為；
（b）當時，f'（x）=0的唯一實根，
當時，f'（x）＜0；當時，f'（x）＞0；
所以f（x）．故f（x）的值域為．
綜上所述，f（x）的值域為；
（）；（k=1）；（k＞1）．
點評：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性與其導函數(shù)的正負之間的關(guān)系、根據(jù)導數(shù)求函數(shù)的值域．導數(shù)是高考必考點，要重視．