Question

已知非零向量

OA

、

OB

、

OC

、

OD

滿足：

OA

=α

OB

+β

OC

+γ

OD

(α，β，γ∈R)，B、C、D為不共線三點(diǎn)，給出下列命題：
①若α=

3

2

，β=

1

2

，γ=-1，則A、B、C、D四點(diǎn)在同一平面上；
②當(dāng)α＞0，β＞0，γ=

2

時(shí)，若|

OA

|=

3

，|

OB

|=|

OC

|=|

OD

|=1，＜

OB

，

OC

＞=

5π

6

，＜

OD

，

OB

＞=＜

OD

，

OC

＞=

π

2

，則α+β的最大值為

6

-

2

；
③已知正項(xiàng)等差數(shù)列a_n（n∈N*），若α=a₂，β=a₂₀₀₉，γ=0，且A、B、C三點(diǎn)共線，但O點(diǎn)不在直線BC上，則

1

a3

+

4

a2008

的最小值為9；
④若α+β=1（αβ≠0），γ=0，則A、B、C三點(diǎn)共線且A分

BC

所成的比λ一定為

α

β

．
其中你認(rèn)為正確的所有命題的序號(hào)是

 

．

Answer 1

分析：①根據(jù)空間四點(diǎn)共面的充要條件若

OA

=α

OB

+β

OC

+γ

OD

(α，β，γ∈R)且α+β+γ=1，則A、B、C、D四點(diǎn)在同一平面上；可知①正確；②把

OA

=α

OB

+β

OC

+γ

OD

兩邊平方，化成3=α²+β2+2-

3

αβ，即=（α+β）²-（2+

3

）αβ+2，利用基本不等式即可求得α+β的最大值為4+2

3

，，故可知②錯(cuò)；③根據(jù)α=a₂，β=a₂₀₀₉，γ=0，且A、B、C三點(diǎn)共線，可得a₂+a₂₀₀₉=1，利用等差數(shù)列的性質(zhì)可得a₃+a₂₀₀₈=1，利用基本不等式即可求得結(jié)果；④根據(jù)三點(diǎn)共線的充要條件可知

OA

=α

OB

+β

OC

且α+β=1，則A、B、C三點(diǎn)共線，而A分

BC

所成的比λ一定為

α

β

錯(cuò)，如點(diǎn)A在線段BC的延長(zhǎng)線上，且BA=

4

3

，λ=-3，而此時(shí)的

α

β

=-

1

4

，因此錯(cuò)．

解答：解：①若α+β+γ=1，則A、B、C、D四點(diǎn)在同一平面上；①正確；
②

OA

=α

OB

+β

OC

+

2

OD

，兩邊平方得，3=α²+β2+2-

3

αβ
=（α+β）²-（2+

3

）αβ+2≥（α+β）²-（2+

3

）

(α+β)2

4

+2，
∴α+β≤4+2

3

，當(dāng)且僅當(dāng)α=β=2+

3

時(shí)等號(hào)成立，故②錯(cuò)；
③若α=a₂，β=a₂₀₀₉，γ=0，且A、B、C三點(diǎn)共線，
∴a₂+a₂₀₀₉=1，∴a₃+a₂₀₀₈=1，則

1

a3

+

4

a2008

=（

1

a3

+

4

a2008

）（a₃+a₂₀₀₈）≥5+4=9．③對(duì)．
④若α+β=1（αβ≠0），γ=0，則A、B、C三點(diǎn)共線，
若點(diǎn)A在線段BC的延長(zhǎng)線上，且BA=

4

3

，λ=-3，
而

OA

=

OB

+

BA

=

OB

+

4

3

BC

=

OB

+

4

3

(

OC

-

OB

)=- 

1

3

OB

 +

4

3

OC

，
∴α=-

1

3

，β=

4

3

，∴

α

β

=-

1

4

，
故④錯(cuò)
故答案為①③．

點(diǎn)評(píng)：此題是個(gè)中檔題，綜合題．考查共面向量和共線向量定理以及利用基本不等式求最值等基礎(chǔ)知識(shí)和基本方法，要說明一個(gè)命題是真命題，必須給出證明，要說明其是假命題，只要舉出反例即可，同時(shí)考查了學(xué)生靈活應(yīng)用知識(shí)分析解決問題的能力和計(jì)算能力．