Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，若PD=4，DC=DB=3，PB=PC=5，AD⊥DB
（1）求證：AD⊥PB；
（2）點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別是AB，AP，PC的中點(diǎn)，過E，F(xiàn)，G的平面交BC于H，求線段GH的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面垂直的性質(zhì)

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）△PDC，△PDB中，根據(jù)勾股定理得出PD²=PD²+BD²，PC²=PD²+CD²，PD⊥面ABCD，得出AD⊥面PBD，與運(yùn)用直線平面的垂直求解．
（2）得出EF∥面EFGH，PB∥GH，GH為△PBC的中位線，根據(jù)PB=5，得出GH=

5

2

．

解答： 證明：（1）在四棱錐P-ABCD中，若PD=4，DC=DB=3，PB=PC=5，
∵PD²=PD²+BD²，PC²=PD²+CD²，
∴根據(jù)勾股定理得出：△PDC，△PDB中都是直角三角形
∴PD⊥BD，PD⊥CD，
∵DB∩CD=D，
∴PD⊥面ABCD，
∵AD?面ABCD，
∴AD⊥PD，
∵AD⊥DB，PD∩DB=D，
∴AD⊥面PBD，
∵PB?面PBD，
∴AD⊥BP
（2）∵點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別是AB，AP，PC的中點(diǎn)，
∴△PBA中FE∥PB，
∵EF?面EFGH，PB?面EFGH，
∴PB∥面EFGH，
∵PB?面PBC，GH?面EFGH，面PBC∩面EFGH=GH，
∴PB∥GH，
∵G是PC的中點(diǎn)，
∴GH為△PBC的中位線，
∵PB=5，
∴GH=

5

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了空間直線平面垂直平行的判定性質(zhì)的運(yùn)用，靈活運(yùn)用直線平面的位置關(guān)系求解證明，屬于中檔題．