如圖1，在直角梯形
ABCD中，
AD∥
BC，∠
ADC＝90°，
BA＝
BC.把△
BAC沿
AC折起到△
PAC的位置，使得點(diǎn)
P在平面
ADC上的正投影
O恰好落在線段
AC上，如圖2所示．點(diǎn)
E、
F分別為棱
PC，
CD的中點(diǎn)．
(1)求證：平面
OEF∥平面
APD；
(2)求證：
CD⊥平面
POF；
(3)在棱
PC上是否存在一點(diǎn)
M，使得
M到
P，
O，
C，
F四點(diǎn)距離相等？請說明理由．
(1)證明：因?yàn)辄c(diǎn)
P在平面
ADC上的正投影
O恰好落在線段
AC上，所以
PO⊥平面
ADC，所以
PO⊥
AC.
因?yàn)?i>AB＝
BC，所以
O是
AC的中點(diǎn)，
所以
OE∥
PA.
同理
OF∥
AD.
又
OE∩
OF＝
O，
PA∩
AD＝
A，
所以平面
OEF∥平面
PDA.
(2)證明：因?yàn)?i>OF∥
AD，
AD⊥
CD，
所以
OF⊥
CD.
又
PO⊥平面
ADC，
CD?平面
ADC，
所以
PO⊥
CD.
又
OF∩
PO＝
O，所以
CD⊥平面
POF.
(3)存在，事實(shí)上記點(diǎn)
E為
M即可．
因?yàn)?i>CD⊥平面
POF，
PF?平面
POF，
所以
CD⊥
PF.
又
E為
PC的中點(diǎn)，所以
EF＝
PC，
同理，在直角三角形
POC中，
EP＝
EC＝
OE＝
PC，
所以點(diǎn)
E到四個點(diǎn)
P，
O，
C，
F的距離相等．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題
科目：高中數(shù)學(xué)
來源：不詳
題型：解答題
如圖，已知四棱錐
P－
ABCD的底面為直角梯形，
AB∥
CD，∠
DAB＝90°，
PA⊥底面
ABCD，且
PA＝
AD＝
DC＝
AB＝1，
M是
PB的中點(diǎn)．
(1)求證：
AM＝
CM；
(2)若
N是
PC的中點(diǎn)，求證：
DN∥平面
AMC.
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科目：高中數(shù)學(xué)
來源：不詳
題型：解答題
如圖，在三棱柱
ABC
A1B1C1中，底面△
ABC是等邊三角形，
D為
AB中點(diǎn)．
(1)求證：
BC1∥平面
A1CD；
(2)若四邊形
BCC1B1是矩形，且
CD⊥
DA1，求證：三棱柱
ABC
A1B1C1是正三棱柱．
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科目：高中數(shù)學(xué)
來源：不詳
題型：解答題
如圖，已知三棱錐
的側(cè)棱與底面垂直，
,
, M、N分別是
的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線段
上，且
,
（1）證明：無論
取何值，總有
.
（2）當(dāng)
時，求平面
與平面
所成銳二面角的余弦值.
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科目：高中數(shù)學(xué)
來源：不詳
題型：填空題
設(shè)P表示一個點(diǎn)，a，b表示兩條直線，α、β表示兩個平面，給出下列四個命題，其中正確的命題是________．(填序號)
①P∈a，P∈α
a
α；
②a∩b＝P，b
β
a
β；
③a∥b，a
α，P∈b，P∈α
b
α；
④α∩β＝b，P∈α，P∈β
P∈b.
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科目：高中數(shù)學(xué)
來源：不詳
題型：單選題
正方體ABCD-A
1B
1C
1D
1中,E,F分別是線段C
1D,BC的中點(diǎn),則直線A
1B與直線EF的位置關(guān)系是( )
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科目：高中數(shù)學(xué)
來源：不詳
題型：填空題
設(shè)x，y，z是空間中不同的直線或平面，對下列四種情形：①x，y，z均為直線；②x，y是直線，z是平面；③x，y是平面，z是直線；④x，y，z均為平面．其中使“x∥z且y∥z?x∥y”為真命題的是________．
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科目：高中數(shù)學(xué)
來源：不詳
題型：填空題
已知l，m是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，下列命題：
①若l?α，m?α，l∥β，m∥β，則α∥β；
②若l?α，l∥β，α∩β＝m，則l∥m；
③若α∥β，l∥α則l∥β；
④若l⊥α，m∥l，α∥β，則m⊥β.
其中真命題是______________(寫出所有真命題的序號)．
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科目：高中數(shù)學(xué)
來源：不詳
題型：單選題
對于直線m,n和平面α,β,α⊥β的一個充分條件是( )
| A．m⊥n,m∥α,n∥β | B．m⊥n,α∩β=m,n?α |
| C．m∥n,n⊥β,m?α | D．m∥n,m⊥α,n⊥β |
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