Question

三棱錐A-BCD內接于球0，BC=AD=2

3

，AB=CD=2且∠BAD=∠BCD=

π

2

，頂點A在面BCD上的射影恰在BD上，．一動點M從三棱錐的一個頂點出發(fā)沿球面運動，經過其它3個頂點后回到出發(fā)點，則動點M經過的最短距離為

 

．

Answer 1

分析：首先確定球心的位置，根據直角三角形的勾股定理求出球的半徑，找出最短距離是M的路徑是A→B→C→D→A，根據直角三角形的性質知∠AOB=60°，∠AOD=120°，∠BOC=120°，∠COD=60°，M沿著這個路徑，在球面上走大圓，剛好走過一個大圓，得到結果．

解答：解：設球0的半徑為r，設E為直角三角形BCD的斜邊BD的中點，
則E為過△BCD的小圓的圓心，根據直角三角形的性質知E是BD中點，
∴0E⊥面BCD，直角三角形0ED中，由勾股定理得 0D=r=2
∵∠BAD=∠BCD=

π

2

，
∴M的路徑是A→B→C→D→A，
根據直角三角形的性質知∠AOB=60°，∠AOD=120°，∠BOC=120°，∠COD=60°
∴M沿著這個路徑，在球面上走大圓，剛好走過一個大圓，
∴最短路徑是4π
故答案為：4π

點評：本題考查多面體旋轉體表面上的最短距離問題，考查直角三角形的性質，考查兩點的球面最短距離是大圓的圓周，是一個綜合題目．