Question

15．已知函數(shù)f（x）=ax³-3x²+4，若f（x）存在唯一的零點x₀，且x₀＞0，則實數(shù)a的取值范圍為a＜-1．

Answer 1

分析 函數(shù)的零點就是對應(yīng)方程的根，先判斷當(dāng)a=0時對應(yīng)方程根的個數(shù)，再討論當(dāng)a不等于0時的根的情況，此時只需利用導(dǎo)數(shù)研究該函數(shù)的極值，利用極值的符號解決問題．

解答 解：原函數(shù)的零點即為ax³-3x²+4=0的根．
當(dāng)a=0時，原方程化為3x²-4=0，解得$x=±\frac{2}{\sqrt{3}}$，不符合題意，故a≠0；
當(dāng)a≠0時，f′（x）=3ax²-6x，令f′（x）=0，解得x=0或x=$\frac{2}{a}$．
①若a＞0，則x=0是極大值點，x=$\frac{2}{a}$是極小值點，此時若函數(shù)只有一個正的零點，則必有f（0）=4＜0，顯然不成立；
②若a＜0，則x=0是極大值點，此時若函數(shù)只有一個正的零點，只需f（0）=4＞0，且$f（\frac{2}{a}）=a•\frac{8}{{a}^{3}}-3•\frac{4}{{a}^{2}}+4＞0$，
解得a＜-1．
綜上可知，a＜-1即為所求．
故答案為a＜-1．

點評 函數(shù)的零點即為對應(yīng)方程的根，也是函數(shù)的圖象與x軸交點的橫坐標(biāo)，依此可以將問題適當(dāng)?shù)倪M行轉(zhuǎn)化，即此問題最終轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與x軸交點的橫坐標(biāo)，通過研究單調(diào)性、極值的符號解決問題．