Question

（本小題滿分12分）
設函數(shù)f(x)的定義域為R，若|f(x)|≤|x|對任意的實數(shù)x均成立，則稱函數(shù)f(x)為函數(shù)。
（1）試判斷函數(shù)= =中哪些是函數(shù)，并說明理由；
（2）求證：若a>1，則函數(shù)f(x)=ln(x²+a)-lna是函數(shù)。

Answer 1

（1）不是函數(shù)；（2）在R上恒有|f(x)| ≤|x|成立，則函數(shù)f(x) 是函數(shù).

（1）∵|xsinx|≤|x|,∴f₁(x)=xsinx是函數(shù)；
∵，∴不滿足|f(0)|≤|0|,
∴不是函數(shù)；………………………………4分
（2）設F(x)=f(x)-x,則F′(x)= 
①當x>0時，∵a>1,
∴
當x=0時，F(xiàn)′(x)=-1<0
∴當x≥0時，F(xiàn)′(x)=<0.
∴F(x)在上是減函數(shù)………………………………8分
∴F(x)≤F(0),又F(0)=f(0)=0,
∴F(x)=f(x)-x≤0
∵x>0時f′(x)=
∴函數(shù)f(x)在上是增函數(shù)，∴f(x)≥f(0)=0
∴0≤f(x)≤x,即|f(x)| ≤|x|
②當x<0時，-x>0, ∴|f(-x)|≤|-x|,顯然f(x)為偶函數(shù)
∴|f(x)|≤|-x|即|f(x)| ≤|x|
∴在R上恒有|f(x)| ≤|x|成立，則函數(shù)f(x) 是函數(shù). ………12分