Question

某商場(chǎng)為吸引顧客消費(fèi)推出一項(xiàng)優(yōu)惠活動(dòng)．活動(dòng)規(guī)則如下：消費(fèi)額每滿100元可轉(zhuǎn)動(dòng)如圖所示的轉(zhuǎn)盤一次，并獲得相應(yīng)金額的返券，假定指針等可能地停在任一位置．若指針停在A區(qū)域返券60元；停在B區(qū)域返券30元；停在C區(qū)域不返券．例如：消費(fèi)218元，可轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤2次，所獲得的返券金額是兩次金額之和．
（Ⅰ）若某位顧客消費(fèi)128元，求返券金額不低于30元的概率；
（Ⅱ）若某位顧客恰好消費(fèi)280元，并按規(guī)則參與了活動(dòng)，他獲得返券的金額記為X（元）．求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析：（1）返券金額不低于30元包括指針停在A區(qū)域和停在B區(qū)域，而指針停在哪個(gè)區(qū)域的事件是互斥的，先根據(jù)幾何概型做出停在各個(gè)區(qū)域的概率，再用互斥事件的概率公式得到結(jié)果．
（2）若某位顧客恰好消費(fèi)280元，該顧客可轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤2次．隨機(jī)變量X的可能值為0，30，60，90，120．做出各種情況的概率，寫出分布列，算出期望．

解答：解：設(shè)指針落在A，B，C區(qū)域分別記為事件A，B，C．
則P(A)=

1

6

，P(B)=

1

3

，P(C)=

1

2

．
（Ⅰ）若返券金額不低于30元，則指針落在A或B區(qū)域．∴P=P(A)+P(B)=

1

6

+

1

3

=

1

2

即消費(fèi)128元的顧客，返券金額不低于30元的概率是

1

2

．

（Ⅱ）由題意得，該顧客可轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤2次．
隨機(jī)變量X的可能值為0，30，60，90，120．
P(X=0)=

1

2

×

1

2

=

1

4

；
P(X=30)=

1

2

×

1

3

×2=

1

3

；
P(X=60)=

1

2

×

1

6

×2+

1

3

×

1

3

=

5

18

；
P(X=90)=

1

3

×

1

6

×2=

1

9

；
P(X=120)=

1

6

×

1

6

=

1

36

.
所以，隨機(jī)變量X的分布列為：

其數(shù)學(xué)期望EX=0×

1

4

+30×

1

3

+60×

5

18

+90×

1

9

+120×

1

36

=40．

點(diǎn)評(píng)：求離散型隨機(jī)變量期望的步驟：①確定離散型隨機(jī)變量 的取值．②寫出分布列，并檢查分布列的正確與否．③求出期望．