Question

函數(shù)f（x）=axⁿ（1-x）²在區(qū)間（0.1）上的圖象如圖所示，則n可能是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

Answer 1

【答案】分析：先從圖象上得出原函數(shù)的最值（極值）點(diǎn)小于0.5，再把答案分別代入驗(yàn)證法看哪個(gè)選項(xiàng)符合要求來(lái)找答案即可．
解答：解：由于本題是選擇題，可以用代入法來(lái)作，
由圖得，原函數(shù)的最值（極值）點(diǎn)小于0.5．
當(dāng)n=1時(shí)，f（x）=ax（1-x）²=a（x³-2x²+x），所以f'（x）=a（3x-1）（x-1），令f'（x）=0⇒x=，x=1，即函數(shù)在x=處有最值，故A對(duì)；
當(dāng)n=2時(shí)，f（x）=ax²（1-x）²=a（x⁴-2x³+x²），有f'（x）=a（4x³-6x²+2x）=2ax（2x-1）（x-1），令f'（x）=0⇒x=0，x=，x=1，即函數(shù)在x=處有最值，故B錯(cuò)；
當(dāng)n=3時(shí)，f（x）=ax³（1-x）²，有f'（x）=ax²（x-1）（5x-3），令f'（x）=0，⇒x=0，x=1，x=，即函數(shù)在x=處有最值，故C錯(cuò)．
當(dāng)n=4時(shí)，f（x）=ax⁴（1-x）²，有f'（x）=2x³（3x-2）（x-1），令f'（x）=0，⇒x=0，x=1，x=，即函數(shù)在x=處有最值，故D錯(cuò)
故選 A．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的最值（極值）點(diǎn)與導(dǎo)函數(shù)之間的關(guān)系．在利用導(dǎo)函數(shù)來(lái)研究函數(shù)的極值時(shí)，分三步①求導(dǎo)函數(shù)，②求導(dǎo)函數(shù)為0的根，③判斷根左右兩側(cè)的符號(hào)，若左正右負(fù)，原函數(shù)取極大值；若左負(fù)右正，原函數(shù)取極小值．本本題考查利用極值求對(duì)應(yīng)變量的值．可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)一定是導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)，但導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)．