Question

設(shè)A、B、C、D是表面積為4π的球面上的四點(diǎn)，且AB、AC、AD兩兩互相垂直，則△ABC、△ABD、△ACD的面積之和S_△ABC+S_△ABD+S_△ACD的最大值為（　　）

• A、4
• B、3
• C、2
• D、1

Answer 1

考點(diǎn)：球內(nèi)接多面體

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：由題意知，此四點(diǎn)組成的三個(gè)線段恰好是一個(gè)正方形同一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱，由此解題方法明確，視AB，AC，AD為球的內(nèi)接長(zhǎng)方體的一個(gè)角，長(zhǎng)方體的對(duì)角線即為球的直徑，設(shè)它們的長(zhǎng)分別為：a，b，c．故a²+b²+c²=4，計(jì)算三個(gè)三角形的面積之和，利用基本不等式求最大值．

解答： 解：由題意，AB、AC、AD兩兩互相垂直，故三個(gè)線段是一個(gè)正方體共頂點(diǎn)的三條棱，此正方體的體對(duì)角線恰好是外接球的直徑
∵A、B、C、D是表面積為4π的球面上的四點(diǎn)，r=1
∴球的直徑是2，
設(shè)AB=a，AC=b，AD=c，
則可知AB，AC，AD為球的內(nèi)接長(zhǎng)方體的一個(gè)角．
設(shè)它們的長(zhǎng)分別為：a，b，c．故a²+b²+c²=4，
而 S_△ABC+S_△ACD+S_△ADB=

1

2

（ab+ac+bc）≤

1

4

（a²+b²+a²+c²+b²+c²）≤

1

2

（a²+b²+c²）=2．
則△ABC，△ACD，△ADB面積之和的最大值是2
故選：C

點(diǎn)評(píng)：本題考查球內(nèi)接多面體，解題的關(guān)鍵是能理解出球的內(nèi)接正方體的體對(duì)角線就是直徑，
球內(nèi)接多面體、利用基本不等式求最值問(wèn)題，考查了同學(xué)們綜合解決交匯性問(wèn)題的能力，解答關(guān)鍵是利用構(gòu)造法求球的直徑得到a²+b²+c²=4．