Question

（2011•洛陽(yáng)一模）過(guò)定點(diǎn)A（1，0）的動(dòng)圓M與定圓B：（x+1）²+y²=8內(nèi)切（圓心為B）．
（1）求動(dòng)圓圓心M的軌跡方程；
（2）設(shè)點(diǎn)N（0，1），是否存在直線l交M的軌跡于P，Q兩點(diǎn)，使得△NPQ的垂心恰為點(diǎn)A．若存在，求出該直線l的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）設(shè)M（x，y），由題意得|MB|=2

2

-|MA|，即|MA|+|MB|=2

2

＞|AB|=2，由橢圓的定義可得：點(diǎn)M的軌跡是橢圓，求出即可；
（2）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），由A是垂心，可得kl=-

1

kNA

=1，設(shè)直線l的方程為y=x+m，聯(lián)立

y=x+m x2 2 +y2=1

．消去y整理得3x²+4mx+2（m²-1）=0，得到根與系數(shù)的關(guān)系．又AP⊥NQ?

AP

•

NQ

=0，可得（x₁-1，x₁+m）•（x₂，x₂+m-1）=0，整理為2x₁x₂+（m-1）（x₁+x₂）+m（m-1）=0，代入即可解出m．

解答：解：（1）設(shè)M（x，y），由題意得|MB|=2

2

-|MA|，即|MA|+|MB|=2

2

＞|AB|=2，
由橢圓的定義可得：點(diǎn)M的軌跡是以A（1，0），B（-1，0）為焦點(diǎn)的橢圓，
且2a=2

2

，2c=2，解得a=

2

，c=1，b²=a²-c²=1．
故動(dòng)圓圓心M的軌跡方程為

x2

2

+y2=1．
（2）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
∵A是垂心，∴kl=-

1

kNA

=1，
設(shè)直線l的方程為y=x+m，聯(lián)立

y=x+m x2 2 +y2=1

．
消去y整理得3x²+4mx+2（m²-1）=0，
∴x1+x2=-

4m

3

，x1x2=

2(m2-1)

3

，又AP⊥NQ，
∴

AP

•

NQ

=0，∴（x₁-1，x₁+m）•（x₂，x₂+m-1）=0，整理為2x₁x₂+（m-1）（x₁+x₂）+m（m-1）=0，
∴

4(m2-1)

3

+(m-1)(-

4m

3

)+m(m-1)=0，解之得m=1（舍去）或m=-

4

3

．
經(jīng)檢驗(yàn)m=-

4

3

符合題意，故存在符合題意的直線l：y=x-

4

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓的定義及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系、向量垂直與數(shù)量積得關(guān)系等基本知識(shí)與基本技能，考查了分類(lèi)討論的思想方法、推理能力與計(jì)算能力．．