Question

在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若滿足：

AB

•

AC

=|

AB

-

AC

|=2．
（Ⅰ）求b²+c²的值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（A）=2sinA（cosA+sinA）的值域．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先根據(jù)向量積性質(zhì)可知bccosA=2，根據(jù)|

AB

-

AC

|2=b2+c2-2bccosA，進(jìn)而求得b²+c²的值．
（Ⅱ）根據(jù)b²+c²≥2bc及（Ⅰ）中b²+c²的值可得bc的范圍，再根據(jù)bccosA=2可得cosA的范圍，進(jìn)而的到A的范圍．把函數(shù)通過(guò)二倍角公式f（A）=2sinA（cosA+sinA）化簡(jiǎn)得f（A）=

2

sin(2A-

π

4

)+1，進(jìn)而根據(jù)A的范圍求得函數(shù)f（A）的值域．

解答：解：（Ⅰ）根據(jù)題意得bccosA=2，而|

AB

-

AC

|=2
則|

AB

-

AC

|2=4?b2+c2-2bccosA=4?b2+c2=8
（Ⅱ）∵b²+c²=8≥2bc?bc≤4
∴cosA=

2

bc

≥

1

2

?A∈(0，

π

3

]
∵f(A)=2sinA(cosA+sinA)=sin2A+1-cos2A=

2

sin(2A-

π

4

)+1
又2A-

π

4

∈(-

π

4

，

5π

12

]
∴f(A)∈(0，

3

2

+

3

2

]

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了向量積和三角函數(shù)的單調(diào)性、三角函數(shù)公式在解三角形中的應(yīng)用．考查了學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力．