關于復數(shù)z的方程z2-（a+i）z-（i+2）=0（a∈R），
（1）若此方程有實數(shù)解，求a的值；
（2）用反證法證明：對任意的實數(shù)a，原方程不可能有純虛根．

解：（1）若此方程有實數(shù)解，設z=m∈R，代入方程可得 m2-（a+i）m-（i+2）=0，
即m2-am-2+（-m-1）i=0，∴m2-am-2=0，且-m-1=0，
∴m=-1，a=1．
（2）假設原方程有純虛根，令z=ni，n≠0，則有 （ni）2-（a+i）ni-（a+2）i=0，
整理可得-n2+n-2+（-an-1）i=0，∴，
∴對于①，判別式△＜0，方程①無解，故方程組無解無解，故假設不成立，
故原方程不可能有純虛根．
分析：（1）若此方程有實數(shù)解，設z=m∈R，代入方程利用兩個復數(shù)相等的充要條件，解方程求得a的值．
（2）假設原方程有純虛根，令z=ni，n≠0，整理可得-n2+n-2+（-an-1）i=0，利用兩個復數(shù)相等的充要條件
可得，由于①的判別式△＜0，方程①無解，故方程組無解無解，從而得到結論．
點評：本題考查兩個復數(shù)相等的充要條件，用反證法證明數(shù)學命題，推出矛盾，是解題的關鍵和難點．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

下列關于復數(shù)的類比推理中，錯誤的是（　�。�
①復數(shù)的加減運算可以類比多項式的加減運算；
②由向量
a
的性質|
a
|2=
a
2類比復數(shù)z的性質|z|2=z2；
③方程ax2+bx+c=0（a，b，c∈R）有兩個不同實數(shù)根的條件是b2-4ac＞0，可以類比得到方程az2+bz+c=0（a，b，c∈C）有兩個不同復數(shù)根的條件是b2-4ac＞0；
④由向量加法的幾何意義可以類比得到復數(shù)加法的幾何意義．
A、①③B、②④C、②③D、①④

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

關于復數(shù)z的方程z2-（a+i）z-（i+2）=0（a∈R），
（1）若此方程有實數(shù)解，求a的值；
（2）用反證法證明：對任意的實數(shù)a，原方程不可能有純虛根．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

關于復數(shù)z的方程z2-（a+i）z-（i+2）=0（a∈R），
（1）若此方程有實數(shù)解，求a的值；
（2）用反證法證明：對任意的實數(shù)a，原方程不可能有純虛根．

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科目：高中數(shù)學 來源：2008-2009學年廣東省實驗中學高二（下）期中數(shù)學試卷（文科）（解析版） 題型：解答題

關于復數(shù)z的方程z2-（a+i）z-（i+2）=0（a∈R），
（1）若此方程有實數(shù)解，求a的值；
（2）用反證法證明：對任意的實數(shù)a，原方程不可能有純虛根．

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