Question

若存在常數k和b，使得函數f（x）和g（x）在它們的公共定義域上的任意實數x分別滿足：f（x）≥kx+b和g（x）≤kx+b，則稱直線l：y=kx+b為函數f（x）和g（x）的“隔離直線”．已知f（x）=x²，g（x）=2elnx．
（I）求F（x）=f（x）-g（x）的極值；
（II）函數f（x）和g（x）是否存在隔離直線？若存在，求出此隔離直線的方程，若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵F（x）=f（x）-g（x）=x²-2clnx（x＞0），
∴F′（x）=2x-=（2x²-2c）/x=
令F′（X）=0，得x=，
當0＜x＜時，F′（X）＜0，X＞時，F′（x）＞0
故當x=時，F（x）取到最小值，最小值是0
（2）由（1）可知，函數f（x）和g（x）的圖象在x=處有公共點，因此存在f（x）和g（x）的隔離直線，那么該直線過這個公共點，設隔離直線的斜率為k．則隔離直線方程為y-e=k（x-，即y=kx-k+e
由f（x）≥kx-k+e（x?R），可得x^2-kx-k+e，
由f（x）≥kx-k+e（x?R），可得x²-kx+k-e≥0當x?R恒成立，
則△=k2-4k+4e=（k-2）^2≤0，只有k=2，此時直線方程為：y=2x-e，
下面證明g（x）≤2x-e^{exx＞0時恒成立
令G（x）=2}x-e-g（x）=2x-e-2elnx，
G′（X）=2-=（2x-2c）/x=2（x-）/x，
當x=時，G′（X）=0，當0＜x＜時G′（X）＞0，
則當x=時，G（x）取到最小值，極小值是0，也是最小值．
所以G（x）=2x-e-g（x）≥0，則g（x）≤2x-e當x＞0時恒成立．
∴函數f（x）和g（x）存在唯一的隔離直線y=2x-e
分析：（1）根據求導公式，求出函數的導數，根據導數判斷函數的單調性并求極值
（2）由（1）可知，函數f（x）和g（x）的圖象在x=處有公共點，因此存在f（x）和g（x）的隔離直線，那么該直線過這個公共點，設隔離直線的斜率為k．則隔離直線方程為y-e=k（x-，即y=kx-k+e，構造函數，求出函數函數的導數，根據導數求出函數的最值
點評：考查函數的求導，利用導數求最值，屬于簡單題，主要做題要仔細．