Question

7．在平面直角坐標(biāo)系xOy中已知F₁，F(xiàn)₂分別為橢圓E：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\;（a＞b＞0）$的左右焦點(diǎn)，且橢圓經(jīng)過點(diǎn)A（2，0）和點(diǎn)（1，3e），其中e為橢圓E的離心率．
（1）求橢圓E的方程；
（2）點(diǎn)P為橢圓E上任意一點(diǎn)，求PA²+PO²的最小值；
（3）過點(diǎn)A的直線l交橢圓E于另一點(diǎn)B，點(diǎn)M在直線l上，且OM=MA，若MF₁⊥BF₂，求直線l的斜率．

Answer 1

分析 （1）由橢圓E經(jīng)過點(diǎn)A（2，0）和（1，3e），列出方程組，求出a=2，$b=\sqrt{3}$，c=1，由此能求出橢圓E的方程．
（2）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），則PA²+PO²=x²+y²+（x-2）²+y²，由在橢圓E：$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$上，得到PA²+PO²=$\frac{1}{2}{x^2}-4x+10$=$\frac{1}{2}{（x-4）^2}+2$，由此能求出PA²+PO²的最小值．
（3）設(shè)直線l的方程是y=k（x-2），聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\;\\ y=k（x-2）\;\end{array}\right.$，得（4k²+3）x²-16k²x+16k²-12=0，求出點(diǎn)B坐標(biāo)為$（\frac{{8{k^2}-6}}{{4{k^2}+3}}\;，\;\frac{-12k}{{4{k^2}+3}}）$，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，-k），由MF₁⊥BF₂，能求出直線l的斜率．

解答 解：（1）因?yàn)闄E圓E經(jīng)過點(diǎn)A（2，0）和（1，3e），
所以$\left\{\begin{array}{l}a=2\;\\ \frac{1}{4}+\frac{{9{c^2}}}{{4{b^2}}}=1\;\\{b^2}+{c^2}={a^2}\;\end{array}\right.$，解得a=2，$b=\sqrt{3}$，c=1．
所以橢圓E的方程$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$．…（4分）
（2）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），于是PA²+PO²=x²+y²+（x-2）²+y²．
P在橢圓E：$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$上，所以PA²+PO²=$\frac{1}{2}{x^2}-4x+10$=$\frac{1}{2}{（x-4）^2}+2$．
由于-2≤x≤2，所以x=2時(shí)，[PA²+PO²]_min=4，此時(shí)點(diǎn)P（2，0）．…（8分）
（3）由（1）知，F(xiàn)₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0）．
設(shè)直線l的斜率為k，則直線l的方程是y=k（x-2）．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\;\\ y=k（x-2）\;\end{array}\right.$消去y可得（4k²+3）x²-16k²x+16k²-12=0，
解得x=2，或$x=\frac{{8{k^2}-6}}{{4{k^2}+3}}$，所以點(diǎn)B坐標(biāo)為$（\frac{{8{k^2}-6}}{{4{k^2}+3}}\;，\;\frac{-12k}{{4{k^2}+3}}）$．…（10分）
由OM=MA知，點(diǎn)M在OA的中垂線x=1上，又點(diǎn)M在直線l上，所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，-k）．
從而$\overrightarrow{{F_1}M}=（2\;，\;-k）$，$\overrightarrow{{F_2}B}=（\frac{{4{k^2}-9}}{{4{k^2}+3}}\;，\;\frac{-12k}{{4{k^2}+3}}）$．…（12分）
因?yàn)镸F₁⊥BF₂，
所以$\overrightarrow{{F_1}M}•\overrightarrow{{F_2}B}=0$．$\overrightarrow{{F_1}M}•\overrightarrow{{F_2}B}$=$\frac{{8{k^2}-18}}{{4{k^2}+3}}+\frac{{12{k^2}}}{{4{k^2}+3}}$=$\frac{{20{k^2}-18}}{{4{k^2}+3}}=0$，
${k^2}=\frac{9}{10}$，$k=±\frac{{3\sqrt{10}}}{10}$．
故直線l的斜率是$±\frac{{3\sqrt{10}}}{10}$．…（16分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓方程的求法，考查兩條線段的平方和的最小值的求法，考查直線的斜率的求法，考查橢圓、直線方程、向量的數(shù)量積等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方思想，是中檔題．